球面調和関数に対する内積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/07 03:05 UTC 版)
「球面調和関数」の記事における「球面調和関数に対する内積」の解説
n 次元空間 Rn の単位球面 Sn − 1 を (P1) のように定義し、dS を Sn−1 上の面素とし、Sn − 1 上定義された2つの球面調和関数 f, g の内積を ⟨ f ∣ g ⟩ S n − 1 := ∫ S n − 1 f ( x ) g ( x ) d S {\displaystyle \langle f\mid g\rangle _{S^{n-1}}:=\int _{S^{n-1}}f(\mathbf {x} )g(\mathbf {x} )\,\mathrm {d} S} (C1) により定義する。なお、面素 dS は球面座標 (r, θ1, …, θn − 1) を x j = { r sin θ 1 ⋯ sin θ j − 1 cos θ j if 1 ≤ j ≤ n − 1 r sin θ 1 ⋯ sin θ n if j = n {\displaystyle x_{j}={\begin{cases}r\sin \theta _{1}\cdots \sin \theta _{j-1}\cos \theta _{j}&{\text{if }}1\leq j\leq n-1\\r\sin \theta _{1}\cdots \sin \theta _{n}&{\text{if }}j=n\end{cases}}} を用いて d S = ∏ j = 1 n − 1 sin j − 1 θ j d θ 1 ⋯ d θ n − 1 {\displaystyle \mathrm {d} S=\prod _{j=1}^{n-1}\sin ^{j-1}\theta _{j}\,\mathrm {d} \theta _{1}\cdots \mathrm {d} \theta _{n-1}} と書ける。特に 3 次元空間の場合は球面座標 (r, θ, φ) に対し、 d S = sin θ d θ d φ {\displaystyle \mathrm {d} S=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi } である。
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