球面調和関数およびルジャンドル多項式との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 15:02 UTC 版)
「ウィグナーのD行列」の記事における「球面調和関数およびルジャンドル多項式との関係」の解説
整数lに対し、D行列の2番目の添字を0とした要素は、コンドン–ショートレーの位相則を用い、正規化された球面調和関数およびルジャンドル陪多項式に比例する。 D m 0 ℓ ( α , β , γ ) = 4 π 2 ℓ + 1 Y ℓ m ∗ ( β , α ) = ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! P ℓ m ( cos β ) e − i m α {\displaystyle D_{m0}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )={\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell }^{m*}(\beta ,\alpha )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\beta })\,e^{-im\alpha }} したがって、d行列について以下の関係式がなりたつ。 d m 0 ℓ ( β ) = ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! P ℓ m ( cos β ) {\displaystyle d_{m0}^{\ell }(\beta )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\beta })} このため、球面調和関数の回転 ⟨ θ , ϕ | ℓ m ′ ⟩ {\displaystyle \langle \theta ,\phi |\ell m'\rangle } は実質二つの回転の合成となる。 ∑ m ′ = − ℓ ℓ Y ℓ m ′ ( θ , ϕ ) D m ′ m ℓ ( α , β , γ ) {\displaystyle \sum _{m'=-\ell }^{\ell }Y_{\ell }^{m'}(\theta ,\phi )~D_{m'~m}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )} 両方の添字をゼロとしたとき、ウィグナーのD行列の要素はルジャンドル多項式となる。 D 0 , 0 ℓ ( α , β , γ ) = d 0 , 0 ℓ ( β ) = P ℓ ( cos β ) {\displaystyle D_{0,0}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )=d_{0,0}^{\ell }(\beta )=P_{\ell }(\cos \beta )} 本項で用いたオイラー角の規約では、αはlongitudinal angle[訳語疑問点]、βはcolatitudinal angle[訳語疑問点]（球面極座標系における極角）である。これが分子物理学においてz-y-z規約がよく用いられる理由の一つである。ウィグナーのD行列の時間反転特性からただちに次がいえる。 ( Y ℓ m ) ∗ = ( − 1 ) m Y ℓ − m {\displaystyle \left(Y_{\ell }^{m}\right)^{*}=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}} スピン加重球面調和関数（英語版）との間には、より一般化された関係式がなりたつ。 D m s ℓ ( α , β , − γ ) = ( − 1 ) s 4 π 2 ℓ + 1 s Y ℓ m ( β , α ) e i s γ {\displaystyle D_{ms}^{\ell }(\alpha ,\beta ,-\gamma )=(-1)^{s}{\sqrt {\frac {4\pi }{2{\ell }+1}}}{}_{s}Y_{\ell }^{m}(\beta ,\alpha )e^{is\gamma }}
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