球面扇形の体積から直感的に表面積を導出する
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/03 14:40 UTC 版)
「球冠」の記事における「球面扇形の体積から直感的に表面積を導出する」の解説
以下の議論ベースの計算とは別であるが、球冠の表面積は直感的な議論により球面扇形の体積 V s e c {\displaystyle V_{sec}} から導出することができる。 A = 3 r V s e c = 3 r 2 π r 2 h 3 = 2 π r h . {\displaystyle A={\frac {3}{r}}V_{sec}={\frac {3}{r}}{\frac {2\pi r^{2}h}{3}}=2\pi rh\,.} 直感的な議論は、総体積を無限小の三角錐の総体積を合計することに基づいている。角錐の体積の式 V = 1 3 b h ′ {\displaystyle V={\frac {1}{3}}bh'} （ b {\displaystyle b} は各角錐の底面（球体の表面にある）の無限面積で、 h ′ {\displaystyle h'} は底面から頂点（球の中心）までの各角錐の高さ）を用いる。極限をとったときの各 h ′ {\displaystyle h'} は定数であり、球の半径 r {\displaystyle r} と等しいため、無限小の角錐の底面積の合計は球冠の表面積に等しくなる。 V s e c = ∑ V = ∑ 1 3 b h ′ = ∑ 1 3 b r = r 3 ∑ b = r 3 A {\displaystyle V_{sec}=\sum {V}=\sum {\frac {1}{3}}bh'=\sum {\frac {1}{3}}br={\frac {r}{3}}\sum b={\frac {r}{3}}A}
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