ルジャンドル陪多項式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/01 02:21 UTC 版)
「ルジャンドル多項式」の記事における「ルジャンドル陪多項式」の解説
詳細は「en:Associated Legendre polynomials」を参照 非負整数 k、m で k ≧ m を満たすものに対し、ルジャンドル陪多項式Pkm(t) を P k m ( t ) = 1 2 k ( 1 − t 2 ) m / 2 ∑ j = 1 ⌊ ( k − m ) / 2 ⌋ ( − 1 ) j ( 2 k − 2 j ) ! j ! ( k − j ) ! ( k − 2 j − m ) ! t k − 2 j − m {\displaystyle P_{k}{}^{m}(t)={\frac {1}{2^{k}}}(1-t^{2})^{m/2}\sum _{j=1}^{\lfloor (k-m)/2\rfloor }{(-1)^{j}(2k-2j)! \over j!(k-j)!(k-2j-m)!}t^{k-2j-m}} と定義する。Pkm(t) はルジャンドルの陪微分方程式 ( 1 − t 2 ) y ″ ( t ) − 2 t y ′ ( t ) + ( k ( k + 1 ) − m 2 1 − t 2 ) y ( t ) = 0 {\displaystyle (1-t^{2})y''(t)-2ty'(t)+\left(k(k+1)-{m^{2} \over 1-t^{2}}\right)y(t)=0} の解である。なお、ルジャンドルの陪微分方程式は k ≧ m を満たすときのみ解を持つことが知られている。また、Ykm (θ, φ) の定義における係数は、後述するノルムが 1 になるよう選んだものである。 Pkm(t) とルジャンドル多項式 Pk(t) は以下の関係を満たす： P k m ( t ) = ( 1 − t 2 ) m / 2 d m P k ( t ) d t m {\displaystyle P_{k}{}^{m}(t)=(1-t^{2})^{m/2}{\frac {\mathrm {d} ^{m}P_{k}(t)}{\mathrm {d} t^{m}}}}
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