ルジャンドル記号と平方剰余
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/16 13:12 UTC 版)
「ルジャンドル記号」の記事における「ルジャンドル記号と平方剰余」の解説
p と q を別々の奇素数とする。ルジャンドル記号を使用すると、平方剰余の法則を次のように簡潔に表すことができる。 ( q p ) ( p q ) = ( − 1 ) p − 1 2 ⋅ q − 1 2 . {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{{\tfrac {p-1}{2}}\cdot {\tfrac {q-1}{2}}}.} 多くの平方剰余の証明(en:proofs of quadratic reciprocity)はルジャンドルの式に基づく。 ( a p ) ≡ a p − 1 2 ( mod p ) . {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\tfrac {p-1}{2}}{\pmod {p}}.} さらに、平方剰余の法則の様々な証明を作るために、ルジャンドル記号の代わりとなる表現がいくつか考案された。 ガウスはen:quadratic Gauss sumを導入し、自身の4番目および6番目の平方剰余の証明に下式を用いた。 ∑ k = 0 p − 1 ζ a k 2 = ( a p ) ∑ k = 0 p − 1 ζ k 2 , ζ = e 2 π i p {\displaystyle \sum _{k=0}^{p-1}\zeta ^{ak^{2}}=\left({\frac {a}{p}}\right)\sum _{k=0}^{p-1}\zeta ^{k^{2}},\qquad \zeta =e^{\frac {2\pi i}{p}}} クロネッカ－の証明は初めに下式を立て、p と q の役割を反対にすることで(p/q) と (q/p) の関係を得た。 ( p q ) = sgn ( ∏ i = 1 q − 1 2 ∏ k = 1 p − 1 2 ( k p − i q ) ) . {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\operatorname {sgn} \left(\prod _{i=1}^{\frac {q-1}{2}}\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}\left({\frac {k}{p}}-{\frac {i}{q}}\right)\right).} アイゼンシュタインの証明は次を示すことから始まる。 ( q p ) = ∏ n = 1 p − 1 2 sin ( 2 π q n p ) sin ( 2 π n p ) . {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {\sin \left({\frac {2\pi qn}{p}}\right)}{\sin \left({\frac {2\pi n}{p}}\right)}}.} 正弦関数ではなく特定の楕円関数を使用することで、エイゼンシュタインは3次および4次の相互作用も証明することができた。
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