ルジャンドル記号
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/19 01:33 UTC 版)
数論において、ルジャンドル記号（るじゃんどるきごう、英: Legendre symbol）は数 a が奇素数（すなわち 3 以上の素数）p を法とするゼロでない平方剰余かを分類する乗法的関数である。ルジャンドル記号の値はそれぞれ、p を法として a がゼロでない平方剰余なら 1、非平方剰余なら −1、ゼロなら 0 となる。 名称はこの関数を導入した数学者、アドリアン＝マリ・ルジャンドルに因む。
ルジャンドル記号は、1798年[1]に平方剰余の法則を証明しようとしたアドリアン＝マリ・ルジャンドルにより導入された。この記号の一般化には高次のヤコビ記号やディリクレ指標が含まれる。ルジャンドル記号の表記上の便利さは、ヒルベルト記号やアルティン記号などの代数的整数論で使用される他のいくつかの「記号」の導入に影響を与えた。
| a=0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| p=3 | 0 | 1 | −1 | ||||||||
| 5 | 0 | 1 | −1 | −1 | 1 | ||||||
| 7 | 0 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | ||||
| 11 | 0 | 1 | −1 | 1 | 1 | 1 | −1 | −1 | −1 | 1 | −1 |
| p を法として合同ならルジャンドル記号の値は等しくなるため、0 ≤ a < p の場合の値のみ示す。表では a が平方剰余となる（ルジャンドル記号の値が 0 または 1）部分を黄色で強調している。 |
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定義
ルジャンドル記号
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/11 11:57 UTC 版)
「有限可換群上の調和解析」の記事における「ルジャンドル記号」の解説
詳細は「ルジャンドル記号」を参照 以下 p は奇素数とする。ルジャンドル記号 ( a p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} は整数 a に対して、a が p の倍数のとき 0 を対応させ、a が p の倍数でない数の平方と p を法として合同であるとき 1 を対応させ、そうでなければ −1 を対応させる関数である。 ルジャンドル記号の単数群 Fp* 上での値は ±1 に値を取る指標と対応する。 実際、ルジャンドル記号は Z 上で定義されているが、p を法とした剰余類上では一定なので Fp の単数群上で矛盾なく定義できる。ルジャンドル記号はディリクレ指標なので単数群上で ±1 に値を取る群準同型を定める。
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