有限可換群上の調和解析

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有限可換群上の調和解析

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/01 14:01 UTC 版)

数学において有限可換群上の調和解析（ゆうげんかかんぐんじょうのちょうわかいせき、仏: analyse harmonique sur un groupe abélien fini）とは有限可換群の上で行う調和解析のこと。

調和解析において定義されるフーリエ変換や畳み込みの概念はプランシュレルの定理・パーセバルの等式・ポントリャーギン双対など多くの定理の枠組みである。群が有限で可換となる場合は理論が極めて単純となる。フーリエ変換は有限和となり、双対群はもとの群と同型になる。有限可換群上の調和解析は特に合同算術や情報理論において多くの応用がある。

背景

この記事では G は位数 g の可換群、C は複素数体、複素数 z に対して z は複素共役とする。

関数空間

群 G 上の複素関数からなる集合 C^G 上において以下の構造を考える。

• 各点ごとの和とスカラー倍により集合 C^G は g 次元複素線型空間となり、標準基底は (δ_s)_{s ∈ G} （ただし δ_s はデルタ関数を表す）で与えられる。関数 f の標準基底に関する座標は f(s) であり、これを f_s とも書く。

• 線型空間 C^G には自然なエルミート内積が

${\displaystyle \langle f|h\rangle ={\frac {1}{g}}\sum _{s}{\bar {f}}(s)h(s)}$