エルミート内積とは？わかりやすく解説

線型代数学における内積（ないせき、英: inner product）は、（実または複素）ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式（実係数の場合には対称双線型形式）のことである。二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるためスカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。内積を備えるベクトル空間は内積空間と呼ばれ、内積の定める計量を持つ幾何学的な空間とみなされる。エルミート半双線型形式の意味での内積はしばしば、エルミート内積またはユニタリ内積と呼ばれる。

定義

→「半双線型形式」も参照

複素数体 $ℂ$ 上のベクトル空間 $V$ 上で定義された二変数の写像 $⟨, ⟩ : V \times V \to ℂ$ が内積あるいはエルミート内積であるとは、 $x, y, z \in V$ および $λ \in ℂ$ を任意として

を満たすことを言う（ここで上付きのバー $•$ は複素共役を表す）。すなわち、複素ベクトル空間上の内積は非退化正定値のエルミート形式である^{[注釈 1]}。

実ベクトル空間の場合も同様で、実ベクトル空間 $V$ 上の二変数の写像 $⟨, ⟩ : V \times V \to ℝ$ が内積であるとは、それが非退化正定値の対称双線型形式であるときに言う^{[注釈 2]}。

場合によっては、非負の「半定値」半双線型形式を考える必要があることがある。つまり、 $⟨ x, x ⟩$ は非負であることのみが要求され、非退化でないものも考えるということである（後述）。

エルミート対称性に注意すれば、任意の $x$ に対して $\langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}$


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