エルミート標準形

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エルミート標準形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/09 07:03 UTC 版)

数学の線型代数学におけるエルミート標準形（エルミートひょうじゅんけい、英: Hermite normal form）とは、整数全体 Z についての行列の行階段形と同様の概念である。

非特異正方行列

成分が整数であるような非特異正方行列 M = (m_ij) がエルミート標準形（Hermite normal form, HNF）であるとは、次を満たすときを言う：

• M は上三角行列である。
• 対角成分 m_ii が正である。
• i > j に対し、m_ii > m_ji ≥ 0 が成立する。すなわち、ある列において、その対角成分よりも上に位置する成分は非負であり、その対角成分よりも小さい。

一般的な行列

より一般的に、成分が整数であるような m×n 行列がエルミート標準形（HNF）であるとは、

• 0 ≤ r ≤ n を満たすような r、および
• 単調増加関数 f: [r + 1, n] → [1, m]

が存在し、M のはじめの r 列がゼロで、r + 1 ≤ j ≤ n に対し

• m_f(j)j > 0。
• i > f(j) のときは、m_ij = 0。
• k < f(j) のときは、m_f(j)j > m_kj ≥ 0。

が成立することを言う。

エルミート標準形の一意性

成分が整数であるような m×n 行列 A が任意に与えられたとき、

$H=UA$ この項目は、線型代数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています。