行簡約階段形

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行階段形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/05/16 17:47 UTC 版)

数学の線型代数学の分野において、ある行列がガウスの消去法の結果として得られる形状となっているとき、その行列は階段形（かいだんけい、英: echelon form）であると言われる。行階段形（row echelon form）とは、行列の行に対してガウスの消去法が作用された場合に得られる階段形であり、同様に列階段形（column echelon form）も定義される。ある行列が列階段形であるための十分条件は、その転置行列が行階段形であることである。したがって、以下では行階段形のみを考慮すれば十分であることが分かる。列階段形に対する同様の性質は、扱う全ての行階段形の行列を転置することで簡単に得られる。

具体的に、行列が行階段形であるとは、次が成立するときを言う：

• ゼロでない成分を持つ行（少なくとも一つの成分がゼロでない行）が、ゼロしか成分に持たない行よりも上に位置している（ゼロ成分だけからなる行が存在するならば、それらは行列の最下部に配置される）。
• 主成分（行の最も左にあるゼロでない成分。ピボット（英語版）とも呼ばれる）が、その行の上にある行の主成分よりも、真に右側に位置する。（主成分は必ず 1 でなければならないとされている教科書もある^[1]）

上記の二つの条件から、ある列の主成分より下の成分がすべてゼロであることがわかる^[2]。

3×5 行列の行階段形の一例を、以下に示す：

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&0&2&a_{4}&a_{5}\\0&0&0&1&a_{6}\end{array}}\right]}$

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