双対群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/11 11:57 UTC 版)
「有限可換群上の調和解析」の記事における「双対群」の解説
詳細は「双対群」を参照 群 G から単数群 C* への準同型写像を G の指標と呼び、G の指標が各点ごとの積によりなす群 ^G を双対群と呼ぶ。乗法群 ^G は加法群 G と（自然ではないが）同型となる。双対群 ^G は線型空間 CG に含まれ、エルミート空間 ℓ2(G) の正規直交基底をなす。この事実は線型空間 CG 上のエルミート内積の選び方を正当化する。任意の有限可換群は二重双対（双対の双対）と自然同型であり、この性質を一般にポントリャーギン双対性という。
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双対群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/09 04:56 UTC 版)
「ポントリャーギン双対」の記事における「双対群」の解説
G を局所コンパクト可換群とするとき、G の指標とは円周群 T に値を持つ G 上の連続群準同型のことである。G の指標全体の成す集合はそれ自身が G の双対群と呼ばれる局所コンパクト群を成すことが示される。 双対群上の群演算は指標の点ごとの積、指標の逆元はその複素共軛、位相はコンパクト集合上一様収束位相（すなわちコンパクト開位相）によって与えられる。この位相は一般には距離化可能ではないが、群 G が可分な局所コンパクト可換群であるならばその双対群は距離化可能である。 アーベル群 G の双対群は ^G で表される。 定理 ^G の双対群は G に自然同型 (canonically isomorphic) である。すなわち自然に (^G)^ = G と見なせる。 ここでいう「自然な」（あるいは標準的な）という形容は、G から (^G)^ への写像が定義できて、その写像が函手的 (functorial) であるということを意味する。この概念の正確な定式化には自然変換の概念が関わっている。 この事実は重要で、たとえば如何なる有限アーベル群もその双対群と同型ではあるが、自然同型ではない。定理に言う自然同型は x ↦ { χ ↦ χ ( x ) } i.e. x ( χ ) := χ ( x ) {\displaystyle x\mapsto \{\chi \mapsto \chi (x)\}{\mbox{ i.e. }}x(\chi ):=\chi (x)} と定義することによって与えられる。言い換えれば、群の各元 x は双対群上の指標と同一視される。
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