双対鎖複体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/12 10:21 UTC 版)
導来関手を使った定義は概念的には極めて明快であるが、実際に利用するには一部の著者が定義としている、次の計算法が役に立つことが多い。n ≥ 0 に対して Cn(G, M) を Gn から M への関数全体からなる群とする。これはアーベル群であり、その元を（非斉次）n 次の双対鎖という。双対境界作用素を d n + 1 : C n ( G , M ) → C n + 1 ( G , M ) , φ ↦ d n + 1 φ ; {\displaystyle d^{n+1}\colon C^{n}(G,M)\to C^{n+1}(G,M),\ \varphi \mapsto d^{n+1}\varphi ;} d n + 1 φ ( g 1 , … , g n + 1 ) = g 1 φ ( g 2 , … , g n + 1 ) + ∑ i = 1 n ( − 1 ) i φ ( g 1 , … , g i − 1 , g i g i + 1 , g i + 2 , … , g n + 1 ) + ( − 1 ) n + 1 φ ( g 1 , … , g n ) {\displaystyle d^{n+1}\varphi (g_{1},\dotsc ,g_{n+1})=g_{1}\varphi (g_{2},\dotsc ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\varphi (g_{1},\dotsc ,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},g_{i+2},\dotsc ,g_{n+1})+(-1)^{n+1}\varphi (g_{1},\dotsc ,g_{n})} で定めると dn+1 ∘ dn = 0 が成り立つので、これはコホモロジーが計算可能な双対鎖複体を定める。上述の導来関手を使った群のコホモロジーの定義はこの複体のコホモロジー H n ( G , M ) = Z n ( G , M ) / B n ( G , M ) {\displaystyle H^{n}(G,M)=Z^{n}(G,M)/B^{n}(G,M)} と同型であることを示すことができる。ここで n 次の双対輪体群、n 次の双対境界群はそれぞれ次のように定義される。 Z n ( G , M ) = ker ( d n + 1 ) {\displaystyle Z^{n}(G,M)=\ker(d^{n+1})} B n ( G , M ) = { 0 ( n = 0 ) im ( d n ) ( n ≥ 1 ) {\displaystyle B^{n}(G,M)={\begin{cases}0&(n=0)\\\operatorname {im} (d^{n})&(n\geq 1)\end{cases}}}
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