三角圏から導来圏への注意
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/10 14:50 UTC 版)
双対鎖複体 X が下に有界とは、n << 0 に対し Xn = 0 であることで、上に有界とは、n >> 0 に対し Xn = 0 であることで、単に有界とは、|n| >> 0 に対し Xn = 0 のことである。（以下に見るように）なんらかの目的のため、有界ではない双対鎖複体の代わりとして、下に有界、上に有界、あるいは有界な双対鎖複体を使う。対応する導来圏は、通常、それぞれに対し、 D + ( A ) , D − ( A ) , D b ( A ) {\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}}),\ D^{-}({\mathcal {A}}),\ D^{b}({\mathcal {A}})} と記す。 （クラスの考え方ではなく）ある対象から別の対象への射の集合が存在するという圏の古典的観点を適用するとき、導来圏に変更することを証明するには、議論を追加する必要がある。 アーベル圏 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} が小さい場合、つまり、対象の集合しか持たない場合は、何も問題がない。 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} がグロタンディークアーベル圏（英語版）であったとしても、導来圏 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} はホモトピー圏 K ( A ) {\displaystyle K({\mathcal {A}})} の充満部分圏に同値であるので、ある対象から他への射の集合を持つのみである。グロタンディークアーベル圏は、環の上の加群の圏や位相空間上のアーベル群の層の圏や他の例を多く含んでいる。 しかしながら、導来圏での 2つの射の合成は、合成される 2つの射の頂点に、ある第三の射を見つけることで完成する。このことが確認できて始めて、well-definedで結合的な合成であることが完成する。 K ( A ) {\displaystyle K({\mathcal {A}})} は三角圏（英語版）であるので、 K ( A ) {\displaystyle K({\mathcal {A}})} の局所化 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} も三角圏である。整数 n と双対鎖複体 X に対し、X を n シフトした双対鎖複体 X[n] を X [ n ] i = X n + i {\displaystyle X[n]^{i}=X^{n+i}} と微分 d X [ n ] = ( − 1 ) n d X {\displaystyle d_{X[n]}=(-1)^{n}d_{X}} により定義する。 定義から、 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} の完全三角形は、ある双対鎖複体の射 f: X → Y から導かれる三角形 X → Y → Cone(f) → X[1] と D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} において同型な三角形である。ここに、Cone(f) は f の写像錐（英語版）である。特に、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中の短完全系列 0 → X → Y → Z → 0 に対し、三角形 X → Y → Z → X[1] は、 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} の完全三角形である。ヴェルディエは、シフト X[1] の定義を、射 X → 0 の写像錐であることとして説明した。 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の対象を次数 0 に集中された双対鎖複体とみなすと、導来圏 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} は A {\displaystyle {\mathcal {A}}} を充満部分圏にもつ。さらに興味深いことに、導来圏の射は、Ext群の全情報を含んでいる。すべての対象 X, Y とすべての整数 j について、 Hom D ( A ) ( X , Y [ j ] ) = Ext A j ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{D({\mathcal {A}})}(X,Y[j])=\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{j}(X,Y)} を得る。
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