三角化による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/19 10:23 UTC 版)
「ケイリー・ハミルトンの定理」の記事における「三角化による証明」の解説
文献に掲載されている方法による。 A の固有多項式を p A ( t ) = det ( t I n − A ) {\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI_{n}-A)} , 固有値を λ1, …, λn とする。 p A ( t ) = ( t − λ 1 ) ⋯ ( t − λ n ) {\displaystyle p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})\cdots (t-\lambda _{n})} A を上三角化した行列を B とする。このとき対角成分に固有値 λ1, …, λn が並ぶ： B := P − 1 A P = ( λ 1 ∗ λ 2 λ 3 ⋱ λ n ) {\displaystyle B:=P^{-1}AP={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&&&*&\\&\lambda _{2}&&&\\&&\lambda _{3}&&\\&&&\ddots &\\&&&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}} p A ( A ) = ( A − λ 1 I ) ⋯ ( A − λ n I ) = ( P B P − 1 − λ 1 I ) ⋯ ( P B P − 1 − λ n I ) = P { ( B − λ 1 I ) ⋯ ( B − λ n I ) } P − 1 ⋯ ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}(A)&=(A-\lambda _{1}I)\cdots (A-\lambda _{n}I)\\&=(PBP^{-1}-\lambda _{1}I)\cdots (PBP^{-1}-\lambda _{n}I)\\&=P\{(B-\lambda _{1}I)\cdots (B-\lambda _{n}I)\}P^{-1}\ \cdots \ (1)\\\end{aligned}}} ここで p B ( B ) = ( B − λ 1 I ) ⋯ ( B − λ n I ) {\displaystyle p_{B}(B)=(B-\lambda _{1}I)\cdots (B-\lambda _{n}I)} を計算する。 C k := B − λ k I ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\displaystyle C_{k}:=B-\lambda _{k}I\ (k=1,2,\cdots ,n)} とおく。Ck は上三角行列で、(k, k) 成分は 0 である。 C 1 C 2 {\displaystyle C_{1}C_{2}} を計算すると、 ( 0 ∗ ⋯ ∗ ∗ ⋯ ∗ ⋱ ⋮ ∗ ) ( ∗ ∗ ⋯ ∗ 0 ⋯ ∗ ⋱ ⋮ ∗ ) = ( 0 0 ⋯ ∗ 0 ⋯ ∗ ⋱ ⋮ ∗ ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c|c|cc}0&*&\cdots &*\\\hline &*&\cdots &*\\\hline &&\ddots &\vdots \\&&&*\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c|c|cc}*&*&\cdots &*\\\hline &0&\cdots &*\\\hline &&\ddots &\vdots \\&&&*\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c|c|cc}0&0&\cdots &*\\\hline &0&\cdots &*\\\hline &&\ddots &\vdots \\&&&*\end{array}}\right)} 故に、第2列までは成分が全て 0 になる。同様にして、帰納的に、 C k {\displaystyle C_{k}} を掛けると、第k列までの成分は全て 0 になる。これを n番目まで繰り返すことにより C 1 ⋯ C n = O {\displaystyle C_{1}\cdots C_{n}=O} 故に (1) は P ( C 1 ⋯ C n ) P − 1 = O {\displaystyle P(C_{1}\cdots C_{n})P^{-1}=O} （証明終）
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