フィルターつき複体のスペクトル系列
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「スペクトル系列」の記事における「フィルターつき複体のスペクトル系列」の解説
スペクトル系列の極めて典型的な例はフィルターつきの（英語版）双対鎖複体から得られる。これは、双対鎖複体 C• であって、全ての整数 p に対して部分複体 FpC• が定義されており、境界写像はフィルトレーションと両立している、つまり d(FpCn) ⊆ FpCn+1 が成り立つものである。（現実の例では p は上か下かどちらか片方で有界であることが多い。）フィルトレーションは減少している、つまり FpC• ⊇ Fp+1C• と仮定する。双対鎖複体の項に対応する数字は n で表すことにする。あとではさらに、フィルトレーションはハウスドルフ（分離的とも言う）、つまり FpC• の全ての共通部分をとるとゼロであり、フィルトレーションは覆い尽くしている（exhaustive）、つまり FpC• の全ての和集合をとると鎖複体 C• 全体となることを仮定する。 フィルトレーションは0への近さを測るものとして便利である。p が大きくなるにつれて、FpC• はゼロに近づいていく。このフィルトレーションから、あとのシートに行けば行くほどコバウンダリとコサイクルが元の複体のコバウンダリとコサイクルに近づいていくスペクトル系列が作れる。このスペクトル系列は、フィルター次数 p と補充次数（complementary degree）q = n − p で2重に次数づけられたものである。（補充次数は全次数 n よりも便利な添字であることが多い。例えば、あとで説明する2重複体のスペクトル系列の場合にそうである。） このスペクトル系列を手作業で作ってみよう。C• は単一の次数づけとフィルトレーションしか持たないので、まず2重次数つき対象を C• から作る。第2の次数を得るために、フィルトレーションに随伴する次数つき対象を次のようにとる。 Z − 1 p , q = Z 0 p , q = F p C p + q {\displaystyle Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}} B 0 p , q = 0 {\displaystyle B_{0}^{p,q}=0} E 0 p , q = Z 0 p , q B 0 p , q + Z − 1 p + 1 , q − 1 = F p C p + q F p + 1 C p + q {\displaystyle E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+1,q-1}}}={\frac {F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}} E 0 = ⨁ p , q ∈ Z E 0 p , q {\displaystyle E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{0}^{p,q}} やや奇妙な書き方をしたが、こう書いた理由はあとで E1 を作るときに分かる。境界写像はフィルトレーションと両立すると仮定しているので、E0 は2重次数つき対象になっており、E0 上に自然な2重次数つき境界写像 d0 が存在する。E1 を得るために E0 のホモロジーをとる。 Z ¯ 1 p , q = ker d 0 p , q : E 0 p , q → E 0 p , q + 1 = ker d 0 p , q : F p C p + q / F p + 1 C p + q → F p C p + q + 1 / F p + 1 C p + q + 1 {\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}\rightarrow F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}} B ¯ 1 p , q = im d 0 p , q − 1 : E 0 p , q − 1 → E 0 p , q = im d 0 p , q − 1 : F p C p + q − 1 / F p + 1 C p + q − 1 → F p C p + q / F p + 1 C p + q {\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}/F^{p+1}C^{p+q-1}\rightarrow F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}} E 1 p , q = Z ¯ 1 p , q B ¯ 1 p , q = ker d 0 p , q : E 0 p , q → E 0 p , q + 1 im d 0 p , q − 1 : E 0 p , q − 1 → E 0 p , q {\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}}{{\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}}}} E 1 = ⨁ p , q ∈ Z E 1 p , q = ⨁ p , q ∈ Z Z ¯ 1 p , q B ¯ 1 p , q {\displaystyle E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}} Z ¯ 1 p , q {\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}} と B ¯ 1 p , q {\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}} は、以下の写像 Z 1 p , q = ker d 0 p , q : F p C p + q → C p + q + 1 / F p + 1 C p + q + 1 {\displaystyle Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}} B 1 p , q = ( im d 0 p , q − 1 : F p C p + q − 1 → C p + q ) ∩ F p C p + q {\displaystyle B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}} の E 0 p , q {\displaystyle E_{0}^{p,q}} における像としてかけることに注意する。これを使うと E 1 p , q = Z 1 p , q B 1 p , q + Z 0 p + 1 , q − 1 {\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1,q-1}}}} となる。 Z 1 p , q {\displaystyle Z_{1}^{p,q}} は微分するとフィルトレーションのレベルが1つ上がるような要素全体になっており、 B 1 p , q {\displaystyle B_{1}^{p,q}} は微分するとフィルトレーションのレベルが0だけ上がるような要素全体の像になっている。これから、 Z r p , q {\displaystyle Z_{r}^{p,q}} は微分するとフィルトレーションのレベルが r 上がるような要素全体、 B r p , q {\displaystyle B_{r}^{p,q}} は微分するとフィルトレーションのレベルが r-1 だけ上がるような要素全体の像となることが推測できる。言い換えると、作ろうとしているスペクトル系列の項は Z r p , q = ker d 0 p , q : F p C p + q → C p + q + 1 / F p + r C p + q + 1 {\displaystyle Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1}} B r p , q = ( im d 0 p − r + 1 , q + r − 2 : F p − r + 1 C p + q − 1 → C p + q ) ∩ F p C p + q {\displaystyle B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}} E r p , q = Z r p , q B r p , q + Z r − 1 p + 1 , q − 1 {\displaystyle E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p+1,q-1}}}} と書けるはずで、さらに関係式 B r p , q = d 0 p , q ( Z r − 1 p − r + 1 , q + r − 2 ) {\displaystyle B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2})} を満たすはずである。このようになるためには、各 Er 上の微分 dr であって、それによるホモロジーが上記の Er+1 と同型になるものを見つけなければならない。その微分 d r p , q : E r p , q → E r p + r , q − r + 1 {\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\rightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1}} は、 C p + q {\displaystyle C^{p+q}} で定義されている元々の微分 d を部分対象 Z r p , q {\displaystyle Z_{r}^{p,q}} に制限することで得られる。 この微分が先程の性質を持つこと、すなわち Er のこの微分によるホモロジーが Er+1 となることは簡単に確かめられる。これで求めるスペクトル系列が得られた。残念なことに、この微分は明示的とは言い難い。この微分を決定するか、何かそれに代わる方法を見つけることが、スペクトル系列の適用を成功させるために必要なことの1つである。
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フィルターつき複体のスペクトル系列（続き）
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包含関係の鎖（chain） Z 0 p , q ⊇ Z 1 p , q ⊇ Z 2 p , q ⊇ ⋯ ⊇ B 2 p , q ⊇ B 1 p , q ⊇ B 0 p , q {\displaystyle Z_{0}^{p,q}\supseteq Z_{1}^{p,q}\supseteq Z_{2}^{p,q}\supseteq \cdots \supseteq B_{2}^{p,q}\supseteq B_{1}^{p,q}\supseteq B_{0}^{p,q}} を考える。下記のように置くと、何が起きるか考える。 Z ∞ p , q = ⋂ r = 0 ∞ Z r p , q {\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q}} B ∞ p , q = ⋃ r = 0 ∞ B r p , q {\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q}} E ∞ p , q = Z ∞ p , q B ∞ p , q + Z ∞ p + 1 , q − 1 {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\frac {Z_{\infty }^{p,q}}{B_{\infty }^{p,q}+Z_{\infty }^{p+1,q-1}}}} E ∞ p , q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}} がこのスペクトル系列の収束先（abutment）の自然な候補である。収束は自動的には従わないが、それでも多くの場合に収束する。特に、フィルトレーションが有限で、ちょうど r 個の非自明なステップからなる場合には、スペクトル系列は r 番目のシートの後で退化する。また、複体とフィルトレーションがともに下、もしくは上に有界ならば、収束する。 考えているスペクトル系列の収束先（abutment）をより詳細に記述するために、次の表示 Z ∞ p , q = ⋂ r = 0 ∞ Z r p , q = ⋂ r = 0 ∞ ker ( F p C p + q → C p + q + 1 / F p + r C p + q + 1 ) {\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1})} B ∞ p , q = ⋃ r = 0 ∞ B r p , q = ⋃ r = 0 ∞ ( im d p , q − r : F p − r C p + q − 1 → C p + q ) ∩ F p C p + q {\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }({\mbox{im }}d^{p,q-r}:F^{p-r}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}} を考える。この表示から Z ∞ p , q {\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}} について何が言えるか考えるために、フィルトレーションは分離的と仮定していたことを思い出そう。この仮定から、r が大きくなると、（最初の式に出てくる）核は縮小していき Z ∞ p , q = ker ( F p C p + q → C p + q + 1 ) {\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1})} となる。 B ∞ p , q {\displaystyle B_{\infty }^{p,q}} に対しては、フィルトレーションは覆い尽くしている（exhaustive）と仮定していたことを思い出そう。この仮定から、r が大きくなると、（2番目の式に出てくる）像は大きくなっていき B ∞ p , q = im ( C p + q − 1 → C p + q ) ∩ F p C p + q {\displaystyle B_{\infty }^{p,q}={\text{im }}(C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}} に到達する。以上をまとめて E ∞ p , q = gr p H p + q ( C ∙ ) {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })} が分かり、これからスペクトル系列の収束先（abutment）は C の (p+q) 番目のホモロジーの次数が p の部分になっていることが分かる。このスペクトル系列が収束するなら、 E r p , q ⇒ p H p + q ( C ∙ ) {\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}H^{p+q}(C^{\bullet })} となることがわかった。
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