フィルターの積

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フィルターの積

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/14 14:14 UTC 版)

「超フィルター」の記事における「フィルターの積」の解説

U, V をそれぞれ X, Y 上の超フィルターとする。このとき X × Y 上のフィルター U × V, U ⋅ V を以下のように定義する。 U × V := {C ⊆ X × Y : ある A ∈ U, B ∈ V が存在して、A × B ⊆ C} U ⋅ V := {C ⊆ X × Y : {x ∈ X : {y ∈ Y : (x, y) ∈ C} ∈ V} ∈ U} U × V は U, V の各要素の直積からなるフィルター基から生成されたフィルターである。以下、X と Y を集合、r: X × Y → Y × X を r(x, y) := (y, x) で定義される成分の入れ替え写像だとする。 基本性質 U ⋅ V = lim x ∈ U ( lim y ∈ V ( x , y ) ) {\textstyle U\cdot V=\lim _{x\in U}(\lim _{y\in V}(x,y))} （ただし収束はストーン・チェックコンパクト化（X × Y ⊆）Ult(X × Y) 上での収束。） U × V ⊆ U ⋅ V. U, V が共に超フィルターならば U ⋅ V も超フィルター。 U または V が単項フィルターならば U ⋅ V = U × V. || U × V || = || U ⋅ V || = || U ||⋅|| V ||. U, V が共に自由な超フィルターで || U || = || V || なら U ⋅ V ≠ r[V ⋅ U] 。 U, V が共に κ-完備ならば U × V, U ⋅ V も κ-完備。