2重複体のスペクトル系列

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2重複体のスペクトル系列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/19 09:14 UTC 版)

「スペクトル系列」の記事における「2重複体のスペクトル系列」の解説

もう一つの典型的なスペクトル系列は2重複体のスペクトル系列である。2重複体（double complex）とは、全ての整数 i と j を添え字に持つ対象 Ci,j の集まりと、2つの微分 d I と d II の組を合わせたものである。d I は i を減少させ、d II は j を減少させるものとする。さらに、 微分は反可換（anticommute）、つまり d I d II + d II d I = 0 とする。目標は、2つのホモロジーのホモロジー、 H i I ( H j I I ( C ∙ , ∙ ) ) と H j I I ( H i I ( C ∙ , ∙ ) ) を比較することである。このために、2重複体に2つの異なる方法でフィルトレーションをいれる。次がそのフィルトレーションである: ( C i , j I ) p = { 0 if  i < p C i , j if  i ≥ p ( C i , j I I ) p = { 0 if  j < p C i , j if  j ≥ p {\displaystyle (C_{i,j}^{II})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j p − 1 C i , j {\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}} T n ( C ∙ , ∙ ) p I I = ⨁ i + j = n j > p − 1 C i , j {\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{II}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j}} が得られる。このフィルトレーションのスペクトル系列からホモロジーのホモロジーについての情報が得られることを示すために、T(C•,•) のフィルトレーション I についてのスペクトル系列の E0、E1、E2 項を調べる。E0 項は簡単で、 I E p , q 0 = T n ( C ∙ , ∙ ) p I / T n ( C ∙ , ∙ ) p + 1 I = ⨁ i + j = n i > p − 1 C i , j / ⨁ i + j = n i > p C i , j = C p , q {\displaystyle {}^{I}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q}} となっている。ここで、n = p + q である。 E1 項を明らかにするためには、E0 での d I + d II を決定する必要がある。微分の次数は n に関して −1 であるから、次の写像 d p , q I + d p , q I I : T n ( C ∙ , ∙ ) p I / T n ( C ∙ , ∙ ) p + 1 I = C p , q → T n − 1 ( C ∙ , ∙ ) p I / T n − 1 ( C ∙ , ∙ ) p + 1 I = C p , q − 1 {\displaystyle d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q}\rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q-1}} がある。これから、E0 の微分は d I + d II から誘導される写像 Cp,q → Cp,q−1 であることがわかる。しかし、この写像と d I の次数は異なっているので、d I は E0 上でゼロでなければならない。これは、微分が d II と一致していることを意味しているので、 I E p , q 1 = H q I I ( C p , ∙ ) {\displaystyle {}^{I}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{II}(C_{p,\bullet })} となる。E2 を明らかにするためには、 d p , q I + d p , q I I : H q I I ( C p , ∙ ) → H q I I ( C p + 1 , ∙ ) {\displaystyle d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:H_{q}^{II}(C_{p,\bullet })\rightarrow H_{q}^{II}(C_{p+1,\bullet })} を決定する必要がある。E1 はちょうど d II についてのホモロジーだったので、d II は E1 上でゼロになっている。したがって、 I E p , q 2 = H p I ( H q I I ( C ∙ , ∙ ) ) {\displaystyle {}^{I}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))} である。もう一方のフィルトレーションを使うと、同様の E2 項を持つ異なるスペクトル系列 I I E p , q 2 = H q I I ( H p I ( C ∙ , ∙ ) ) . {\displaystyle {}^{II}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).} が得られる。あとはこの2つのスペクトル系列の関係がわかればよい。r が大きくなると、この2つのスペクトル系列は有用な比較ができるほど十分に似てくることがわかる。

2重複体のスペクトル系列（続き）

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/19 09:14 UTC 版)

「スペクトル系列」の記事における「2重複体のスペクトル系列（続き）」の解説

フィルターつき複体についての収束先（abutment）を使うと、 H p I ( H q I I ( C ∙ , ∙ ) ) ⇒ p H p + q ( T ( C ∙ , ∙ ) ) H q I I ( H p I ( C ∙ , ∙ ) ) ⇒ q H p + q ( T ( C ∙ , ∙ ) ) が分かる。一般には、Hp+q(T(C•,•)) 上の2つの次数付けは異なる。にもかかわらず、この2つのスペクトル系列から有益な情報を得ることが可能である。