導来函手との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/10 14:50 UTC 版)
導来圏は導来函手の研究と定義の自然なフレームワークである。以下では、 F : A → B {\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} をアーベル圏の函手とする。2つの双対な考えがある。 右導来函手は、左完全函手からきて、単射分解を通して計算される。 左導来函手は、右完全函手からきて、射影分解を通して計算される。 以下では右導来函手について述べるので、F を左完全とする。典型例は、ある固定した対象 A に対し、 X ↦ Hom ( X , A ) {\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (X,A)} あるいは、 X ↦ Hom ( A , X ) {\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (A,X)} により与えられる F : A → A b {\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {Ab}}} や層の上の大域切断函手や順像函手である。これらの右導来函手は、それぞれ、Ext函手（ Ext n ( , A ) {\displaystyle \operatorname {Ext} ^{n}(\ \ ,A)} )、層コホモロジー（ H n ( X , F ) {\displaystyle H^{n}(X,F)} ）、高次順像函手 (Rnf*(F)) である。 導来圏によって、すべての導来函手 RnF をひとつの函手へ要約することができる。いわゆる全導来函手 R F : D + ( A ) → D + ( B ) {\displaystyle RF\colon D^{+}({\mathcal {A}})\rightarrow D^{+}({\mathcal {B}})} である。この函手は合成 D + ( A ) ≅ K + ( Inj ( A ) ) → K + ( B ) → D + ( B ) {\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}})\cong K^{+}(\operatorname {Inj} ({\mathcal {A}}))\rightarrow K^{+}({\mathcal {B}})\rightarrow D^{+}({\mathcal {B}})} である。ここに第一の圏同値は上で述べたものである。古典的な導来函手は、 R n F ( X ) = H n ( R F ( X ) ) {\displaystyle R^{n}F(X)=H^{n}(RF(X))} を通して、全導来函手へ関連付いている。 R n F {\displaystyle R^{n}F} は双対鎖複体を忘れコホモロジーのみを保持している一方、 R F {\displaystyle RF} は双対鎖複体を保持している、ということもできる。 導来圏はこれらの函手を研究するための、ある意味で、「適切な」圏である。たとえば、F が A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の単射対象を G-非輪状（つまり、すべての i > 0 と単射写像 I に対し、 R i G ( F ( I ) ) = 0 {\displaystyle R^{i}G(F(I))=0} となるような函手であり、2つの函手の合成 A → F B → G C {\displaystyle {\mathcal {A}}\ \ {\stackrel {F}{\rightarrow }}\ \ {\mathcal {B}}\ \ {\stackrel {G}{\rightarrow }}\ \ {\mathcal {C}}} のグロタンディークスペクトル系列（英語版）は、全導来函手の恒等射を表わす R ( G ∘ F ) ≅ R G ∘ R F {\displaystyle R(G\circ F)\cong RG\circ RF} である。ヴェルディエはアーベル圏に付帯する導来関手がどのようにすれば A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の適切な導来圏への埋め込みに沿ったカン拡張としてみることができるかを示した [Mac Lane]。
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