圏論的考察
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/09 04:56 UTC 版)
「ポントリャーギン双対」の記事における「圏論的考察」の解説
双対群を函手性の観点からみることは有効である。以下、LCA で局所コンパクト可換群が連続群準同型に関して成す圏を表す。G^ の双対群構成は反変函手 LCA → LCA である。特に、反復函手 G → (G^)^ は共変である。 定理 双対群函手は LCA から LCAop への圏同値である。 定理 反復双対函手は LCA 上の恒等変換に自然同型である。 この同型は、有限次元ベクトル空間（特別な場合として実または複素ベクトル空間）の二重双対と比べることができる。 この双対性は離散群の成す部分圏とコンパクト群の成す部分圏を互いに入れ替える。R を環とし、G を左 R-加群とすると、双対群 G^ は右 R-加群となる。同様にして離散左 R-加群はポントリャーギン双対によってコンパクト右 R-加群になる。LCA における自己準同型の環 End(G) は双対性によってその（積の順序が逆になる）逆環 に写される。例えば G が無限巡回離散群の場合、G^ は円周群で、前者については End(G) = Z であるから、後者についても同じく End(G^) = Z が成り立つ。
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