可換群

デジタル大辞泉

かかん‐ぐん〔カクワン‐〕【可換群】

読み方：かかんぐん

元a、bが可換である群。アーベル群。

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アーベル群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/15 06:52 UTC 版)

代数的構造 → 群論 群論
基本概念 部分群 正規部分群 商群 （半）直積 群準同型 核 像 直和 リース積 単純 有限 無限 連続 乗法 加法 巡回 アーベル 二面体 冪零 可解 群論の用語 群論のトピックス一覧
有限群 有限単純群の分類 巡回 交代 リー型 散在 コーシーの定理 ラグランジュの定理 シローの定理 ホールの定理 p 群 基本アーベル群 フロベニウス群 シューア multiplier 対称群 Sn クラインの四元群 V 二面体群 Dn 四元数群 Q8 二重巡回群 Dicn
離散群 格子 整数 (Z) 格子 モジュラー群 PSL(2, Z) SL(2, Z)
位相 / リー群 ソレノイド 円周 一般線型 GL(n) 特殊線型 SL(n) 直交 O(n) ユークリッド E(n) 特殊直交 SO(n) ユニタリ U(n) 特殊ユニタリ SU(n) 斜交 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 ローレンツ ポアンカレ 共形 微分同相 ループ 無限次元リー群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)
代数群 楕円曲線 線型代数群 アーベル多様体

代数的構造
群に似た構造 群 半群 / モノイド 圭 準群とループ アーベル群 マグマ リー群 群論
環に似た構造 環 半環 近環 可換環 整域 体 可除環 リー環 環論
束に似た構造 束 半束 可補束 全順序 ハイティング代数 ブール代数 en:Map of lattices 束論
加群に似た構造 加群 作用を持つ群 ベクトル空間 線形代数
代数に似た構造 代数 結合 非結合 合成代数 リー代数 次数付き 双代数 ホップ代数
表 話 編 歴

数学、特に抽象代数学におけるアーベル群（アーベルぐん、英: abelian group）または可換群（かかんぐん、英: commutative group）とは、交換法則を有する群である。マグマの分類の一つである。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む。

アーベル群は環や体、環上の加群やベクトル空間といった抽象代数学の概念において、その基礎となる加法に関する群（加法群）としてしばしば生じる。任意の抽象アーベル群についても、しばしば加法的な記法（例えば群演算は "+" を用いて表され、逆元は負符号を元の前に付けることで表す）が用いられ、その場合に用語の濫用で「加法群」と呼ばれることがある。また任意のアーベル群は整数全体の成す環 Z 上の加群とみることができ、その意味でやはり用語の濫用だがアーベル群のことを「加群」と呼ぶこともある。

一般に可換群は非可換群に比べて著しく容易であり、とくに有限アーベル群の構造は具さに知られているが、それでも無限アーベル群論はいまなお活発な研究領域である。

定義

群に似た構造
	全域性	結合性	単位的	可逆的
群	Yes	Yes	Yes	Yes
モノイド	Yes	Yes	Yes	No
半群	Yes	Yes	No	No
ループ	Yes	No	Yes	Yes
準群	Yes	No	No	Yes
マグマ	Yes	No	No	No
亜群	No	Yes	Yes	Yes
圏	No	Yes	Yes	No

集合 G に二項演算（"*" と書くことにする）が定義されていて、以下の条件

1. 結合法則: $a*(b*c)=(a*b)*c$
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可換群

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名詞

可換群（かかんぐん）

1. (代数学) 交換律が成り立つ群。二項演算を ◦ とすると、任意の要素 a, b について a ◦ b = b ◦ a が成り立つ群。アーベル群。

翻訳

• 英語：commutative group, abelian group