可換持ち上げ定理とは? わかりやすく解説

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可換持ち上げ定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2014/06/07 17:48 UTC 版)

数学作用素論の分野における可換持ち上げ定理(かかんもちあげていり、: commutant lifting theorem)とは、ベラ・ショーケファルヴィ=ナジー英語版チプリアン・フォイアス英語版により得られた、いくつかの補間定理を証明する上で用いられる重要な定理である。

「可換押し上げ定理」とも称する[要出典]

内容

可換持ち上げ定理の内容は次のようになる:T をあるヒルベルト空間 H 上の縮小写像英語版とし、U をあるヒルベルト空間 K 上での T の極小ユニタリ伸張とする(そのような U の存在はナジーの伸張定理により示される)。また RT と可換な H 上のある作用素とする。このとき、U と可換な K 上のある作用素 S で、次を満たすものが存在する。

および

言い換えると、T可換子環より得られるある作用素は、T のユニタリ伸張の可換子環のある作用素に「持ち上げ」られることを、この定理は意味する。

応用

可換持ち上げ定理は、左ネヴァンリンナ=ピックの補間定理英語版サラソンの補間定理英語版、両側ヌデルマン定理(two-sided Nudelman theorem)やその他諸々の定理を証明する上で用いられる。

参考文献

  • Vern Paulsen, Completely Bounded Maps and Operator Algebras 2002, ISBN 0-521-81669-6
  • B Sz.-Nagy and C. Foias, "The "Lifting theorem" for intertwining operators and some new applications", Indiana Univ. Math. J 20 (1971): 901-904
  • Foiaş, Ciprian, ed. Metric Constrained Interpolation, Commutant Lifting, and Systems. Vol. 100. Springer, 1998.



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