交代群とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

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交代群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 00:51 UTC 版)

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基本概念

無限（英語版）
連続
乗法

群論の用語

群論のトピックス一覧（英語版）

有限群

巡回
交代
リー型（英語版）
散在（英語版）

フロベニウス群（英語版）

シューア multiplier（英語版）

対称群 $S n$

交代群（こうたいぐん、英: alternating group, 独: Alternierende Gruppe）とは、有限集合の偶置換全体がなす群である^[1]。集合 {1,...,n} 上の交代群は n 次の交代群、もしくは n 文字の交代群 (the alternating group on n letters) と呼ばれ、A_n もしくは Alt(n), ${\mathfrak {A}}_{n}$

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群ホモロジー

交代群の群ホモロジーは安定ホモトピー論における意味で安定である。つまり（有限個の小さい次元のホモロジー群を除いて）十分大きな n に対する n-次ホモロジー群が（同型の意味で）一定となる。

アーベル化 H₁

群の一次元ホモロジー群は群のアーベル化に一致する（また、A_n は知られた例外を除いて完全である）から、

H_{1}(A_{n},\mathbb {Z} )=0{\mbox{ for }}n=0,1,2;

H_{1}(A_{3},\mathbb {Z} )=A_{3}^{\text{ab}}=A_{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ;

H_{1}(A_{4},\mathbb {Z} )=A_{4}^{\text{ab}}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ;

H_{1}(A_{n},\mathbb {Z} )=0{\mbox{ for }}n\geq 5

が得られる。これは以下のようにすれば直接確認することも容易である。まず、A₃ は長さ 3 の巡回置換によって生成され、位数 3 の元は位数 3 の元に写らなければならないから、非自明なアーベル化写像は準同型 A_n → C₃ のとり方のみによって決まる。

n ≥ 5 ならば、長さ 3 の巡回置換はすべて互いに共軛であるから、これらの元はアーベル化の中で同じ元に写る（共軛変換は可換群には自明に働く）。したがって、(123) のような長さ 3 の巡回置換はその逆元 (321) ともども同じ元へ写るが、その行き先は位数が 2 も 3 も割り切るものである単位元でなければならない。ゆえにアーベル化は自明群である。

n < 3 のときは A_n 自身が自明群だから、そのアーベル化も同様に自明である。A₃, A₄ については直接そのアーベル化を計算して確かめればよいが、注意すべきは長さ 3 の巡回置換の全体はすべてが共軛というわけにはいかず、ふたつの共軛類に分かれることである。したがって、非自明な全射準同型

A_{3}\twoheadrightarrow C_{3},\quad A_{4}\twoheadrightarrow C_{3}

が存在する。前者は実際には同型である。

シューア乗因子 H₂

詳細は「対称群・交代群の被覆群」を参照

n ≥ 5 の場合の A_n のシューア乗因子（英語版）は（n = 6, 7 の場合を除いて）位数 2 の巡回群である。n = 6, 7 の場合、三重被覆が存在し、シューア乗因子は位数 6 の巡回群となる^[10]。これらの計算は (Schur 1911) において初めて成されている。

H_{2}(A_{n},\mathbb {Z} )=0{\mbox{ for }}n=1,2,3;

H_{2}(A_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} {\mbox{ for }}n=4,5;

H_{2}(A_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} {\mbox{ for }}n=6,7;

H_{2}(A_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} {\mbox{ for }}n\geq 8.

脚注

^ Scott 1987, p. 267.
^ たとえば基本交代式（差積） $\Delta (x_{1},\dotsc ,x_{n}):=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})$
^ Vilyams 2001.
^ ガロワは素数位数でない単純群の最小位数は 60 であると予想していた (Kline 1992, p. 766)。
^ Scott 1987, pp. 298–300, §11.1 Conjugacy classes.
^ Wilson 2009, p. 18（Theorem 2.3, Exercise 2.16 参照）
^ ^a ^b ^c Scott 1987, p. 295.
^ ^a ^b Coxeter, Harold S. M.; Moser, William O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups (4th ed.). p. 66. ISBN 978-3-662-21945-4
^ Huppert 1967, p. 138, Beispiel 19.8（Aufgaben 75, Beispiel 19.9 も参照）
^ Wilson, Robert (October 31, 2006), “Chapter 2: Alternating groups”, 2.7: Covering groups