アーベル化

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交換子部分群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/09 06:13 UTC 版)

数学、特に抽象代数学における群の交換子部分群（こうかんしぶぶんぐん、英: commutator subgroup）あるいは導来部分群（どうらいぶぶんぐん、英: derived subgroup）とは、交換子全体が生成する部分群である。

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アーベル化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/24 15:43 UTC 版)

「交換子部分群」の記事における「アーベル化」の解説

群 G とその正規部分群 N に対し、剰余群 G/N がアーベル群となる必要十分条件は N が交換子部分群 [G, G] を含むことである。 剰余群 G/[G, G] は群 G のアーベル化と呼ばれるアーベル群である。また剰余群としてアーベル化を得ることを、G をアーベル化すると言う。G のアーベル化は Gab や Gab と書かれるのが普通である。 標準的な全射 π: G → Gab には有用な圏論的解釈がある。つまり π は 群からアーベル群への群準同型に対する普遍性 任意のアーベル群 A と群準同型 φ: G → A に対し、群準同型 ψ: Gab → A で φ = ψ ∘ π を満たすものが一意的に存在する。 を満たす。普遍性からアーベル化 Gab は自然同型を除いて一意的である。また存在性は具体的な構成 G → G/[G, G] からわかる。このアーベル化函手は、アーベル群の圏から群の圏への包含函手の左随伴である。一方で群の中心はこのような函手性を持たない。 これとは別の、アーベル化 Gab の重要な解釈は、G の一次の整数係数ホモロジー群 H1(G, Z) と見做すことである。