圏論的半順序

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圏論的半順序

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/05 00:42 UTC 版)

「エピ射」の記事における「圏論的半順序」の解説

エピ射の右簡約可能性（right cancelable）を用いて圏上で半順序を定義することができる。 β1 : B → B1, β2 : B → B2 をそれぞれエピ射とする。エピ射間の半順序関係 β2 ≼ β1 が成り立つとは、エピ射 γ : B2 → B1 が存在し、 γ・β2 = β1 を満たすことを言う。 半順序関係とは、反射的（reflexive）かつ推移的（transitive）かつ反対称的（anti-symmetric）な関係を言うが、エピ射間の関係 ≼ は実際それらを満たす （反射律） β1 : B → B1 がエピ射であれば、β1 ≼ β1 である。 （推移律） β1 : B → B1、 β2 : B → 2、 β3 : B → 3 をエピ射とし、β2 ≼ β1 かつ β3 ≼ β2 であるならば、β3 ≼ β1 である。 （反対称律） β1 : B → B1、 β2 : B → B2 をエピ射とし、β2 ≼ β1 かつ β1 ≼ β2 であるならば、β1 ≅ β2 である。

圏論的半順序

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/10 14:49 UTC 版)

「モニック射」の記事における「圏論的半順序」の解説

モニック射の左簡約可能性（left cancelable）を用いて圏上で半順序を定義することができる。 α1 : A1 → A, α2 : A2 → A をそれぞれモニック射とする。モニック射間の半順序関係 α1 ≦ α2 が成り立つとは、モニック射 γ : A1 → A2 が存在し、 α2・γ = α1 を満たすことを言う。 半順序関係とは、反射的（reflexive）かつ推移的（transitive）かつ反対称的（anti-symmetric）な関係を言うが、モニック射間の関係 ≦ は実際それらを満たす。 （反射律） α1 : A1 → A がモニック射であれば、α1 ≦ α1 である。 （推移律） α1 : A1 → A、 α2 : A2 → A、 α3 : A3 → A をモニック射とし、α1 ≦ α2 かつ α2 ≦ α3 であるならば、α1 ≦ α3 である。 （反対称律） α1 : A1 → A、 α2 : A2 → A をモニック射とし、α1 ≦ α2 かつ α2 ≦ α1 であるならば、α1 ≅ α2 である。