より一般的な体上の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 14:01 UTC 版)
「ラングランズ双対」の記事における「より一般的な体上の定義」の解説
G を分離的閉体 K を持つある体を k の上の簡約群とする。K 上 G はルートデータを持っていて、このことはガロア群 Gal(K/k) の作用からくる。L-群の恒等元の成分 LGo は、双対ルートデータの連結複素簡約群であり、ガロア群 Gal(K/k) の誘導された作用を持っている。L-群 LG の全体は、ガロア群の連結成分の半直積 L G = L G o × Gal ( K / k ) {\displaystyle {}^{L}G={}^{L}G_{o}\times {\text{Gal}}(K/k)} である。 L-群の定義には下記のようにいくつかの変形がある。 分離的な閉包のガロア群 Gal(K/k) の全体に代わり、G が分離するような有限拡大のガロア群を使うこともできる。対応する半直積は、有限個の成分しか持たない複素リー群である。 k を局所体、大域体、有限体とすると、k の絶対ガロア群を使う代わりに、絶対ヴェイユ群を使うこともできる。ヴェイユ群はガロア群への自然な写像を持ち、従ってルートデータ上へも作用する。対応する半直積を L-群のヴェイユ形式と呼ぶ。 有限群上の代数群 G に対し、ドリーニュ (Deligne) とルスティック (Lusztig) は、異なる双対群を導入した。前に述べたように、G は有限体の絶対ガロア群の作用をもつルートデータを与える。従って、双対群 G* は、ガロア群の誘導作用を持つ層ついルートデータに付帯する有限体上の簡約代数群である。（この双対群は有限体上に定義され、一方、ラングランズ双対群は複素数上に定義される。）
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