より一般の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/06 17:03 UTC 版)
t = n のしきい値法を利用すると、より一般的な設定に対応した秘密分散法も構成できる。例えば、先に示した「妻と子供一人以上」または「子供三人」が合意したときのみ秘密情報を復元できるようにしたい、という設定に対しては、以下のようにすればよい。 妻と子供1に対して (2,2)-しきい値法を適用する。同様に、妻と子供2、妻と子供3に対しても(2,2)-しきい値法を適用する。 子供3人に対して (3,3)-しきい値法を適用する。 これによって、妻は3つのシェアを、子供たちはそれぞれ2つのシェアをA氏から受け取る。妻だけ、あるいは子供二人だけでは、財産の横取りはできない。
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より一般の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 07:15 UTC 版)
行列 X に対してその最小多項式が一次式の積に分解されるとき、行列 X は X = A + N {\displaystyle X=A+N} A: 対角化可能 N: 冪零 A と N は可換 (AN = NA) なる形に書くことができる（ジョルダン分解）。このとき X-乗の計算は e X = e A + N = e A e N {\displaystyle e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}} により、先の対角化可能行列および冪零行列の計算に帰着される。後の等号で A と N との可換性が必要であることに注意せよ。 同様の方法は、代数閉体上の行列に対してジョルダン標準形を取ることで与えられる。即ち J が X のジョルダン標準形で X = PJP −1 と書くとき、 e X = P e J P − 1 {\displaystyle e^{X}=Pe^{J}P^{-1}} である。ジョルダン細胞の直和として J = J a 1 ( λ 1 ) ⊕ J a 2 ( λ 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ J a n ( λ n ) , {\displaystyle J=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}),} と書けば、 e J = exp ( J a 1 ( λ 1 ) ⊕ J a 2 ( λ 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ J a n ( λ n ) ) = exp ( J a 1 ( λ 1 ) ) ⊕ exp ( J a 2 ( λ 2 ) ) ⊕ ⋯ ⊕ exp ( J a k ( λ k ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}e^{J}&{}=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}\\&{}=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{k}}(\lambda _{k}){\big )}.\end{aligned}}} となるから、後はジョルダン細胞乗が計算できればよい。各ジョルダン細胞は特別な形をした冪零行列 N を用いて J a ( λ ) = λ I + N {\displaystyle J_{a}(\lambda )=\lambda I+N} なる形に書けるのだから、 e λ I + N = e λ e N {\displaystyle e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}} が得られる。
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