より一般の成分を持つ行列とは? わかりやすく解説

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より一般の成分を持つ行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/01 07:43 UTC 版)

行列」の記事における「より一般の成分を持つ行列」の解説

しばしば実または複素成分行列焦点当てることもあるが、それ以外にももっと一般種類成分持った行列考えることができる。一般化最初の段階として任意の体(すなわち四則演算自由にできる集合例えば R, C 以外に有理数体 Q や有限体 Fqなど)を成分として考える。例え符号理論では有限体上の行列利用する。どの体で考えるとしても、固有値多項式の根として考えることができて、それは行列係数体拡大体中に存在する。たとえば、実行列場合固有値複素数である。ある行列成分をより大きな体の元と解釈しなおすことはできる(例え実行列全ての成分実数あるよう複素行列とみることができる)から、そのような分大きな体の中任意の正方行列についてその固有値全てから成る集合考えることができる。あるいは最初から、複素数体 C のような代数閉体成分を持つような行列のみを考えものとするともできる。 もっと一般に抽象代数学では環に成分を持つ行列というものが甚だ有用である。環は除法演算持たない点において体よりも一般の概念である。この場合も、行列加法と乗法そのまままったく同じ物を使うことができる。R 上の n-次正方行列全体の成す集合 M⁡(n, R) は全行列環呼ばれる環であり、左 R-加群 Rn自己準同型環同型である。環 R が可換環、すなわちその乗法可換律満たすならば、全行列環 M⁡(n, R) は(n = 1 でない限り非可換な R 上の単位結合多元環となる。可換環 R 上の正方行列行列式ライプニッツの公式用いて定義することができて、可換環 R 上の正方行列可逆であることの必要十分条件をその行列式が R の可逆元であることと述べることができる(これは零元でない任意の元が可逆元であった体の場合一般化になっている)。超環(英語版上の行列超行列英語版)と呼ばれる行列成分が必ずしもすべて同じ環に属すというわけではない(し、すべてが全く別の環に成分を持つというわけでもない)。一つ特別な、しかしよく用いられる場合として、成分自体が行となっているような行列と見なすともできる区分行列挙げられる。その成分二次元な行列である必要はないし、また通常の環の元である必要もないが、その大きさに関して適当な両立条件満足するものでなければならない

※この「より一般の成分を持つ行列」の解説は、「行列」の解説の一部です。
「より一般の成分を持つ行列」を含む「行列」の記事については、「行列」の概要を参照ください。

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