一般の概念
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/20 02:41 UTC 版)
V {\displaystyle V} をあるバナッハ空間とする。次の方程式の解 u ∈ V {\displaystyle u\in V} を見つけたい。 A u = f {\displaystyle Au=f} 但し A : V → V ′ {\displaystyle A:V\to V'} および f ∈ V ′ {\displaystyle f\in V'} であり、 V ′ {\displaystyle V'} は V {\displaystyle V} の双対である。 定義よりこの問題は全ての v ∈ V {\displaystyle v\in V} に対して次を満たすような u ∈ V {\displaystyle u\in V} を見つけることと同値である： [ A u ] ( v ) = f ( v ) {\displaystyle [Au](v)=f(v)} . ここで v {\displaystyle v} をテストベクトルあるいはテスト函数と呼ぶ。 これを弱形式による一般的な形に書き換える。すなわち、次を満たす u ∈ V {\displaystyle u\in V} を見つける： a ( u , v ) = f ( v ) ∀ v ∈ V {\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V} ただし a {\displaystyle a} は双線型形式 a ( u , v ) := [ A u ] ( v ) {\displaystyle a(u,v):=[Au](v)} である。以上の説明は非常に抽象的であるため、以下ではいくつかの例を見る。
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