自由代数
非可換多項式環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/22 09:36 UTC 版)
詳細は「自由多元環」を参照 多変数の多項式環に対して、積 XY と YX は単純に等しいものと定義される。多項式環のもう少し一般の概念は、これらの形式的な積を別なものとして区別して扱うことによって得られる。形式的には、環 R に係数を持つ n 個の非可換な変数に関する多項式環はモノイド環 R[N] で、モノイド N が n 個の文字に関する自由モノイド（n 個の記号をアルファベットとする文字列全体が文字列の結合を積として成すモノイド）の場合である。係数も変数もそれぞれそれらの間で可換性を持つ必要はないが、係数と変数との間では可換でなければならない。 可換環 R に係数を持つ n-変数多項式環は、階数 n の自由可換 R-多元環であった（上述）ことにちょうど応じるように、可換環 R 上の n-変数非可換多項式環は n 個の元からなる生成系を持つ自由単位的 R-結合多元環であり、n > 1 ならばこれは非可換である。
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