アフィン接続への一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 05:20 UTC 版)
「リッチテンソル」の記事における「アフィン接続への一般化」の解説
リッチテンソルは任意のアフィン接続へ一般化でき、射影幾何（パラメトライズされない測地線に関連する幾何学）において特に重要な役割を果す不変量である (Nomizu & Sasaki 1994)。 ∇ {\displaystyle \nabla } と書くこととすると、曲率テンソル R は任意のベクトル場 X, Y, Z に対して次のように定義される (1, 3) テンソルである。 R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z {\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z} リッチテンソルは次のようにトレースで定義される。 ric ( X , Y ) = tr ( Z ↦ R ( Z , X ) Y ) {\displaystyle \operatorname {ric} (X,Y)=\operatorname {tr} (Z\mapsto R(Z,X)Y)} この、より一般の場合では、リッチテンソルは局所的に接続の平行体積形式があるときにのみ対称となる。
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