アフィン空間と射影空間

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アフィン空間と射影空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/12 03:22 UTC 版)

「空間 (数学)」の記事における「アフィン空間と射影空間」の解説

アフィン空間と射影空間を以下のように線型空間から導入すると簡便である。(n + 1)-次元線型空間の n-次元線型部分空間は、それ自体が（等質でない）n-次元線型空間を成し、特別な点としての原点を含む。この線型部分空間の外にあるベクトルを使って、この線型部分空間を平行移動させたものとして、n-次元アフィン空間が得られる（これは等質である）。バエズによれば「アフィン空間は、ベクトル空間からその原点を忘れたものである」。こうして得られたアフィン空間における直線とは、定義により、その空間と（もとの (n + 1)-次元線型空間の）別の二次元線型部分空間（つまり原点を含む平面）との交線によって与えられる。任意の線型空間はアフィン空間でもある。 またこのアフィン空間の各点は、（もとの (n + 1)-次元線型空間の）一次元線型部分空間（つまり原点を通る直線）との交点として与えられる。幾つかの一次元部分空間はこのアフィン空間において平行となるが、適当な意味でこれらは無限遠において交わると考えることができる。(n + 1)-次元線型空間の一次元線型部分空間の全体の成す集合は、定義により、n-次元射影空間を成す。前の如く n-次元アフィン空間を選べば、そのアフィン空間をこの射影空間の真の部分集合として埋め込めることがわかる。しかし、射影空間それ自体は等質でない。射影空間内の直線は定義により、もとの (n + 1)-次元線型空間の二次元線型部分空間に対応する。 このやり方で定義されたアフィン空間と射影空間は、代数的な性質のものであって、実数体または複素数体あるいはもっと一般の体上で定義することができる。 任意の実（または複素）アフィンまたは射影空間は位相空間でもある。アフィン空間は非コンパクトな位相多様体であり、射影空間はコンパクトな位相多様体である。