アフィン空間および射影空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/22 00:46 UTC 版)
「ベクトル空間」の記事における「アフィン空間および射影空間」の解説
詳細は「アフィン空間」および「射影空間」を参照 大雑把に言うと、アフィン空間 (英: affine space ) というのはベクトル空間からその原点をわからなくしたものである。より正確には、アフィン空間とは自由かつ推移的なベクトル空間の作用を備えた集合を言う。特にベクトル空間は、写像 V × V → V , ( v , a ) ↦ a + v {\displaystyle V\times V\to V,\,(\mathbf {v} ,\mathbf {a} )\mapsto \mathbf {a} +\mathbf {v} } を考えることによって、自身の上のアフィン空間となる。W をベクトル空間とするとき、W のアフィン部分空間とは、固定したベクトル x ∈ W によって線型部分空間 V を平行移動することによって得られるものを言う。この空間は x + V（V による W の剰余類）であり、v ∈ V に対する x + v の形のベクトル全てからなる。重要な例は、非斉次の線型方程式系 A x = b {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} } の解空間である。これは斉次の場合、つまり b = 0 の場合を一般化するものである。この解空間は、方程式の特殊解 x と、付随する斉次方程式の解空間（つまり A の核空間）V に対するアフィン部分空間 x + V である。 固定された有限次元ベクトル空間 V の一次元線型部分空間全体の成す集合は射影空間と呼ばれる。これは平行線が無限遠において交わるという概念の定式化に用いられる。グラスマン多様体および旗多様体はそれぞれ、決まった次元 k の線型部分空間および旗と呼ばれる線型部分空間の包含列を径数付けることによる、射影空間の概念の一般化である。
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