一般の体上
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 05:26 UTC 版)
m × n 行列の階数は非負整数で、m, n の何れも超えない。すなわち rank(A) ≤ min(m, n) が成り立つ。特に rank(A) = min(m, n) のとき、A は最大階数（full rank; フルランク; 充足階数、完全階数）を持つとかフルランク行列などといい、さもなくばA は階数落ち（英語版） (rank deficient; 階数不足) であるという。 A が零行列のときかつその時に限り rank(A) = 0. f が単射となるための必要十分条件は、rank(A) = n（これを A は列充足階数を持つという）となることである。 f が全射となるための必要十分条件は、rank(A) = m となる（A が行充足階数を持つ）ことである。 A が正方行列（つまり m = n）のとき、A が正則であるための必要十分条件は、rank(A) = n（A が充足階数）となることである。 B を任意の n × k 行列として rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)) が成り立つ。B が行充足階数 n × k 行列ならば rank(AB) = rank(A) が成り立つ。 C が列充足階数 l × m 行列ならば rank(CA) = rank(A) が成り立つ。 rank(A) = r となるための必要十分条件は、m × m 正則行列 X と n × n 正則行列 Y が存在して X A Y = [ I r 0 0 0 ] {\displaystyle XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}} が成立することである。ただし Ir は r × r 単位行列である。右辺の行列は A の階数標準形と呼ばれる。 rank(A) = rank(A⊤)（ A⊤ は転置行列） 階数・退化次数の定理が成立 シルベスターの階数不等式 m × n 行列 A と n × k 行列 B に対し rank ( A ) + rank ( B ) − n ≤ rank ( A B ) {\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB)} が成り立つ。 フロベニウスの不等式 行列の積 A, ABC, BC がいずれも定義されるとき、 rank ( A B ) + rank ( B C ) ≤ rank ( B ) + rank ( A B C ) {\displaystyle \operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)\leq \operatorname {rank} (B)+\operatorname {rank} (ABC)} が成り立つ。 劣加法性 A, B は同じ型の行列として rank ( A + B ) ≤ rank ( A ) + rank ( B ) {\displaystyle \operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)} が成り立つ。この帰結として、階数 k の行列は階数 1 の行列 k 個の和に書くことができ、また k 個より少ない階数 1-行列の和には書けない。
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