一般の体上の楕円曲線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:40 UTC 版)
楕円曲線は任意の体 K 上で定義することができる。楕円曲線の公式な定義は、K 上で定義された点を持ち、種数 1 の K 上の非特異射影代数多様体ことを言う。 K の標数が 2 でも 3 でもなければ、全ての K 上の楕円曲線は、 y 2 = x 3 − p x − q {\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q} の形に書くことができる。ここに p と q は K の元で、多項式の右辺 x3 − px − q は二重点を持たない。標数が 2 や 3 であれば、さらに項を注意深く扱わねばならなく、標数 3 の場合は、最も一般的な方程式は、多項式の右辺が異なる根（記法は歴史的な理由を持っている）を持つような任意の定数 b2, b4, b6 に対し、 y 2 = 4 x 3 + b 2 x 2 + 2 b 4 ″ x ″ + b 6 {\displaystyle y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}''x''+b_{6}} の形をしている。 標数 2 の場合は、以上のようなことな不可能で、最も一般的な方程式である y 2 + a 1 x y + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 {\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}} が、非特異な多様体を与える。標数が問題にならない場合は、各々の方程式は、適切な変数変換により前の方程式となる。 一つの典型例を挙げると、全ての曲線の点 (x, y) が上の方程式を満たし、そのような点 x と y が K の代数的閉包に属するとする。K に属する座標を持つ点は、K-有理点と呼ばれる。 一般の体 k 上の楕円曲線は、射影平面 P2(k) の非特異三次曲線 y 2 z + a 1 x y z + a 3 y z 2 = x 3 + a 2 x 2 z + a 4 x z 2 + a 6 z 3 {\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}\,} と書くことができる。この式は、三次曲線の変曲点が (0, 1, 0) にあり、その接線が z = 0 であるとした時に得られる形で、ワイエルシュトラスの標準形と呼ばれる。この斉次式を非斉次形に直すと y 2 + a 1 x y + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 {\displaystyle y^{2}+{a_{1}}xy+{a_{3}}y=x^{3}+{a_{2}}x^{2}+{a_{4}}x+a_{6}\,} となる。
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