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公式な定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/18 07:35 UTC 版)

アフィン接続 ∇ は、次の条件が成立するときレヴィ・チヴィタ接続と呼ばれる。計量を保存すること、つまり ∇g = 0 捩れ（英語版）(torsion)のないこと、つまり、任意のベクトル場 X と Y に対し、∇XY − ∇YX = [X,Y] であること。ここに [X,Y] はベクトル場 X と Y のリーブラケットである。上の条件 1 は、計量との整合性（英語版）(compatibility with the metric)と呼ばれ、条件 2 は対称性と呼ばれることがある。DoCarmoの教科書を参照。レヴィ・チヴィタ接続が存在すると、一意的に決定される。条件 1 を使い、計量テンソル g の対称性を使い、 X ( g ( Y , Z ) ) + Y ( g ( Z , X ) ) − Z ( g ( Y , X ) ) = g ( ∇ X Y + ∇ Y X , Z ) + g ( ∇ X Z − ∇ Z X , Y ) + g ( ∇ Y Z − ∇ Z Y , X ) . {\displaystyle X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))-Z(g(Y,X))=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X).} を得る。条件 2 により、右辺は、 2 g ( ∇ X Y , Z ) − g ( [ X , Y ] , Z ) + g ( [ X , Z ] , Y ) + g ( [ Y , Z ] , X ) {\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X)} に等しいので、 g ( ∇ X Y , Z ) = 1 2 { X ( g ( Y , Z ) ) + Y ( g ( Z , X ) ) − Z ( g ( X , Y ) ) + g ( [ X , Y ] , Z ) − g ( [ Y , Z ] , X ) − g ( [ X , Z ] , Y ) } {\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)={\frac {1}{2}}\{X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))-Z(g(X,Y))+g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)-g([X,Z],Y)\}} であることが分かる。 Z は任意であるので、∇XY は一意に決定される。逆に、∇XY が一意に決定されていると、そのように定義された表現は、計量と整合性を持つ接続、つまり、レヴィ・チヴィタ接続である。

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公式な定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/15 02:26 UTC 版)

「リー代数の表現」の記事における「公式な定義」の解説

リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の表現は、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} からベクトル空間 V 上の準同型のリー代数への準同型(Lie algebra homomorphism) ρ : g → g l ( V ) {\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)} であり、交換子をリーブラケットとして持ち、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の元 x を g l ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)} の元 ρx へ写像する。明らかに、このことは、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の中のすべての x,y に対し、 ρ [ x , y ] = [ ρ x , ρ y ] = ρ x ρ y − ρ y ρ x {\displaystyle \rho _{[x,y]}=[\rho _{x},\rho _{y}]=\rho _{x}\rho _{y}-\rho _{y}\rho _{x}} であることを意味する。ベクトル空間 V は、表現 ρ とともに、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群と呼ばれる（用語を省略し、V を表現ということも多い）。表現 ρ {\displaystyle \rho } が単射のとき、忠実(faithful)と呼ばれる。同値な定義であるが、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群をベクトル空間 V と双線型写像 g × V → V {\displaystyle {\mathfrak {g}}\times V\to V} と定義し、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の中のすべての x,y と V のすべての v に対して、 [ x , y ] ⋅ v = x ⋅ ( y ⋅ v ) − y ⋅ ( x ⋅ v ) {\displaystyle [x,y]\cdot v=x\cdot (y\cdot v)-y\cdot (x\cdot v)} であるように定義することもできる。この定義は、x を v = ρx (v) と置くと上の定義に関係付く。