定義と公式の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/28 02:46 UTC 版)
常微分方程式とその初期値問題を次のように定める。 y ′ = f ( t , y ) , y ( t 0 ) = y 0 . {\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.} 時間の刻み幅を h とする。TF 時間後の数値解を求めるために、まずは時間を離散化し、tn = t0 + nh とすると、オイラー法は次の公式で定義される。 y n + 1 = y n + h f ( t n , y n ) , t n ≤ T F . {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),\quad t_{n}\leq T_{F}.} ここで、yn は tn での数値解である。この公式を導出するために、解の存在性と滑らかさはピカール・リンデレフの定理より保証されると想定する（特に、f(t, y) はリプシッツ連続である）。上記の初期値問題の厳密解（ときには解析解）を y にし、y(t + h) のテイラー展開を考える： y ( t + h ) = y ( t ) + y ′ ( t ) h + 1 2 y ″ ( t ) h 2 + O ( h 3 ) . {\displaystyle y(t+h)=y(t)+y'(t)h+{\frac {1}{2}}y''(t)h^{2}+O(h^{3}).} ここで y′(t) を微分方程式により f(t, y) に変換すると上記式が y ( t + h ) = y ( t ) + f ( t , y ) h + O ( h 2 ) {\displaystyle y(t+h)=y(t)+f(t,y)h+O(h^{2})} となる。O(h2) の項を切り捨てて、t を tn に、y(tn)（厳密解）を yn（数値解）に置き換えるとオイラー法の公式である。他に微分の定義から公式を導出する方法も存在する。 オイラー法は陽公式である。すなわち、過去の値のみが未来の値の計算に必要である。
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