解の存在
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/05 20:33 UTC 版)
フレドホルムの定理はフレドホルムの交代定理と密接な関係がある。非斉次のフレドホルム積分方程式、 λ ϕ ( x ) − ∫ a b K ( x , y ) ϕ ( y ) d y = f ( x ) {\displaystyle \lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x)} の解の存在を考えると、この方程式に解が存在するのは、対応する斉次な共役の方程式の解の完全系 { ψ n ( x ) } {\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}} に対して関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が直交する場合に限られる。 ∫ a b ψ n ( x ) ¯ f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}{\overline {\psi _{n}(x)}}f(x)\,dx=0} ここで ψ n ( x ) ¯ {\displaystyle {\overline {\psi _{n}(x)}}} は ψ n ( x ) {\displaystyle \psi _{n}(x)} の複素共役を表し、積分方程式、 λ ψ ( y ) ¯ − ∫ a b ψ ( x ) ¯ K ( x , y ) d x = 0. {\displaystyle \lambda {\overline {\psi (y)}}-\int _{a}^{b}{\overline {\psi (x)}}K(x,y)\,dx=0.} の解の一つである。この定理が成り立つ充分条件は K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} が矩形 [ a , b ] × [ a , b ] {\displaystyle [a,b]\times [a,b]} 上で自乗可積分なことである。
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