解の公式の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/24 01:46 UTC 版)
「二次方程式の解の公式」の記事における「解の公式の導出」の解説
二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad (a\neq 0)} を解くのは、一次の項「 + b x {\displaystyle +\;\!\;\!bx} 」があるのとないので難易度が大きく変わる。 一次の項「 + b x {\displaystyle +\;\!\;\!bx} 」が無ければ、 a x 2 + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+c=0\quad (a\neq 0)} を x 2 {\displaystyle x^{2}} について解くことにより、 x 2 = − c a {\displaystyle x^{2}=-{\frac {c}{a}}} 解 x {\displaystyle x} は −c/a の平方根であると分かる。 一次の項「 + b x {\displaystyle +\;\!\;\!bx} 」がある場合、平方完成により一次の項が無い形に帰着できる(p. 291, Chapter 13 §4.4):56:178:81。 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad (a\neq 0)} の両辺を a で割る： x 2 + b a x + c a = 0 {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0} +c/a を移項する： x 2 + b a x = − c a {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}} 左辺を平方完成するために、両辺に ( b 2 a ) 2 {\displaystyle \left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}} を加える。 ( x + b 2 a ) 2 = − c a + b 2 4 a 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\\&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\end{aligned}}} 両辺の平方根をとる。ここで a の符号は正の場合と負の場合があるが、どちらでも次の等式が成り立つ： x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}} +b/2a を移項して解が得られる： x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} :219 このプラスマイナス記号 "±" は次の2つを示している。 x = − b + b 2 − 4 a c 2 a or x = − b − b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{or}}\quad x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} 上以外の導出では、 a {\displaystyle a} の操作に多少の違いがある。
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