解の存在条件
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/01 01:09 UTC 版)
「クローニッヒ・ペニーのモデル」の記事における「解の存在条件」の解説
以下、αとβ（またはE）とkが満たすべき条件について考える。 クローニッヒ・ペニーのモデルのシュレーディンガー方程式の解の存在条件は、以下の2つの条件から導出される永年方程式を解くことで導出される。 波動関数 ψ とその一次微分が x = 0 および x = a で連続でなくてはならない（接続条件）。 ψ ( 0 − ) = ψ ( 0 + ) ψ ′ ( 0 − ) = ψ ′ ( 0 + ) {\displaystyle \psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+})} 周期的ポテンシャルに対する波動関数がブロッホの定理を満たさなければならない。 u ( − b ) = u ( a − b ) u ′ ( − b ) = u ′ ( a − b ) {\displaystyle u(-b)=u(a-b)\qquad u'(-b)=u'(a-b)} これらの条件により、次の行列が得られる。 ( 1 1 − 1 − 1 α − α − β β e i ( α − k ) ( a − b ) e − i ( α + k ) ( a − b ) − e − i ( β − k ) b − e i ( β + k ) b ( α − k ) e i ( α − k ) ( a − b ) − ( α + k ) e − i ( α + k ) ( a − b ) − ( β − k ) e − i ( β − k ) b ( β + k ) e i ( β + k ) b ) ( A A ′ B B ′ ) = ( 0 0 0 0 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(a-b)}&e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.} 自明でない解を得るためには、この行列の行列式は0でなければならない。よってαとβ（つまりE）とkは次式を満たさなければならない。 cos ( k a ) = cos ( β b ) cos [ α ( a − b ) ] − α 2 + β 2 2 α β sin ( β b ) sin [ α ( a − b ) ] {\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)]} ここで簡単のため次の近似を行い、ポテンシャルをデルタ関数型にして考える。 b → 0 , V 0 → ∞ , V 0 b = c o n s t a n t {\displaystyle b\to 0,\quad V_{0}\to \infty ,\quad V_{0}b=\mathrm {constant} } ⇒ β 2 b = c o n s t a n t , α 2 b → 0 {\displaystyle \Rightarrow \beta ^{2}b=\mathrm {constant} ,\quad \alpha ^{2}b\to 0} ⇒ β b → 0 , ; sin ( β b ) → β b , cos ( β b ) → 1 {\displaystyle \Rightarrow \beta b\to 0,;\quad \sin(\beta b)\to \beta b,\quad \cos(\beta b)\to 1} すると、α（つまりE）とkは次式を満たさなければならない。 cos ( k a ) = cos ( α a ) − P sin ( α a ) α a ( P ≡ m V 0 b a ℏ 2 ) {\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)-P{\frac {\sin(\alpha a)}{\alpha a}}\qquad \left(P\equiv {\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}\right)} 次にEが井戸の高さより低い場合(E>0)を考える。この場合、αとβとkは次式を満たさなければならない。 cos ( k a ) = cos ( β b ) cosh [ α ( a − b ) ] + β 2 − α 2 2 α β sin ( β b ) sinh [ α ( a − b ) ] ( α 2 ≡ 2 m | E | ℏ 2 , β 2 ≡ 2 m ( V 0 − | E | ) ℏ 2 ) {\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cosh[\alpha (a-b)]+{\beta ^{2}-\alpha ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sinh[\alpha (a-b)]\quad \left(\alpha ^{2}\equiv {2m|E| \over \hbar ^{2}},\quad \beta ^{2}\equiv {2m(V_{0}-|E|) \over \hbar ^{2}}\right)} 先ほどと同じ近似( b → 0 , V 0 → ∞ , V 0 b = c o n s t a n t {\displaystyle b\to 0,\quad V_{0}\to \infty ,\quad V_{0}b=\mathrm {constant} } )により、αとkは次式を満たさなければならない。 cos ( k a ) = cos ( α a ) + P sin ( α a ) α a {\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+P{\frac {\sin(\alpha a)}{\alpha a}}}
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