解の様子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/03 04:19 UTC 版)
四次方程式は、代数学の基本定理より、高々4個の複素数解を持つ。 四次方程式 ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 の判別式は Δ = 256 a 3 e 3 − 192 a 2 b d e 2 − 128 a 2 c 2 e 2 + 144 a 2 c d 2 e − 27 a 2 d 4 + 144 a b 2 c e 2 − 6 a b 2 d 2 e − 80 a b c 2 d e + 18 a b c d 3 + 16 a c 4 e − 4 a c 3 d 2 − 27 b 4 e 2 + 18 b 3 c d e − 4 b 3 d 3 − 4 b 2 c 3 e + b 2 c 2 d 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta =\;&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&\ +144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&\ -4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}} によって与えられ、係数によって定まる以下の4個の定数によってさらに詳細な情報が得られる。 P = 8 a c − 3 b 2 R = b 3 + 8 a 2 d − 4 a b c Δ 0 = c 2 − 3 b d + 12 a e D = 64 a 3 e − 16 a 2 c 2 + 16 a b 2 c − 16 a 2 b d − 3 b 4 {\displaystyle {\begin{aligned}P&=8ac-3b^{2}\\R&=b^{3}+8a^{2}d-4abc\\\Delta _{0}&=c^{2}-3bd+12ae\\D&=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}\end{aligned}}} Δ, P, R, Δ0, D に関して、以下の事実が成立する。 Δ < 0 のとき、異なる2個の実数解と1組の共役複素数解を持つ。 Δ> 0 のとき、P < 0 かつ D < 0 ならば、相異なる4個の実数解を持つ。 P> 0 または D > 0 ならば、2組の共役複素数解を持つ。 Δ = 0 のときにのみ、方程式は重解を持ち、P < 0 かつ D < 0 かつ Δ0 ≠ 0 ならば、1個の実数二重解と、異なる2個の重複度 1 の実数解を持つ。 D> 0 または（P < 0 かつ（D, R のどちらかが0でない））ならば、1個の実数二重解と、1組の共役複素数解を持つ。 Δ0 = 0 かつ D ≠ 0ならば、1個の実数三重解と、1個の重複度 1 の実数解を持つ。 D = 0 のとき、P < 0 ならば、異なる 2個の実数二重解を持つ。 P < 0 かつ R=0 ならば、1組の共役複素数である、異なる 2個の虚数二重解を持つ。 Δ0 = 0 ならば、−b/4a を実数四重解として持つ。 以上には、例えば Δ> 0 かつ P·D < 0 である場合などが記されていない。しかし、このような組み合わせは実際には存在しない。
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解の様子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 06:39 UTC 版)
三次方程式は、代数学の基本定理より、高々 3個の複素数解を持つ。中間値の定理より、実数を係数とする三次方程式は、少なくとも 1つの実数解を持つことが分かる。 a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 (a3 ≠ 0) が重解を持つ場合、その重解は、左辺を x で微分して得られる二次方程式 3 a3 x2 + 2 a2 x + a1 = 0 の解でもあるため、比較的容易に三次方程式を解くことができる。重解以外の残りの解も実数である。 虚数解を持つ場合は、その共役複素数も解となり、残りの解は実数である。 三次方程式 a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 (a3 ≠ 0) の判別式 D は D = − 4 a13 a3 + a12 a22 − 4 a0 a23 + 18 a0 a1 a2 a3 − 27 a02 a32 となる。 判別式を計算すれば、具体的に根を求めなくても D > 0 の時、3個の相異なる実数解を持つ。 D < 0 の時、1個の実数解と1組の共役な虚数解を持つ。 D=0 の時は、実数の重解を持つ。 ということが分かる。D = 0 の時さらに ⊿2 = − 2 a23 + 9 a1 a2 a3 − 27 a0 a32 と定義すれば ⊿2 = 0 の時、三重解を持つ。⊿2 ≠ 0 の時、1個の二重解と重複度 1 の実数解を1個持つ。⊿2> 0 の時（二重解）<（もう一つの実数解）、⊿2 < 0 の時（二重解）>（もう一つの実数解）となる。
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