定義と一般的性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 21:49 UTC 版)
微分方程式の独立変数を t ∈ R とし、従属変数を x ∈ Rn とする。このとき、dx/dt が次のような t を陽に含まない自励的な常微分方程式で与えられているとする。 d x d t = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}=f({\boldsymbol {x}})} ここで、 x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ⊤ {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n})^{\top }} d x d t = ( d x 1 d t , d x 2 d t , ⋯ , d x n d t ) ⊤ {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}=\left({\dfrac {dx_{1}}{dt}},\ {\dfrac {dx_{2}}{dt}},\cdots ,{\dfrac {dx_{n}}{dt}}\right)^{\top }} f = ( f 1 , f 2 , ⋯ , f n ) ⊤ {\displaystyle f=(f_{1},\ f_{2},\cdots ,\ f_{n})^{\top }} x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∈ R {\displaystyle x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n}\in \mathbf {R} } であり、右肩の ⊤ は転置行列を意味する。もし従属変数の定義域を Rnの適当な開部分集合 U で考えても一般性は失われない。 上記の微分方程式に対して xe ∈ Rn が d x d t | x = x e = f ( x e ) = 0 {\displaystyle \left.{\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}_{e}}=f({\boldsymbol {x}}_{e})=0} を満たすとき、xe を平衡点などと呼ぶ。一方で、 f ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f({\boldsymbol {x}})\neq 0} を満たす x ≠ xe を通常点などと呼ぶ。 微分方程式の定義域 Rn や U を力学系では相空間と呼ぶ。力学系では、独立変数 t はしばしば時間とみなす。力学系的視点では、平衡点とは時間が変化しても動かない相空間上の点を意味する。微分方程式の解は相空間上で曲線を描くので、これを解軌道などと呼ぶ。平衡点も1つの解軌道である。f が一般的な滑らかな関数であれば、微分方程式の解の存在と一意性の要請のため、平衡点以外の解軌道が有限時間以内に平衡点に到達することはない。ただし、後述のように t → ∞ で平衡点に収束する解軌道はあり得る。 どれだけ時間変化しても解軌道が相空間上のある集合から出ない場合、その集合を不変集合という。平衡点はもっとも単純な閉不変集合である。またさらに、閉不変集合 M の部分集合で閉不変集合であるのは M と空集合だけであるとき、M を極小集合という。平衡点は極小集合でもある。
※この「定義と一般的性質」の解説は、「平衡点」の解説の一部です。
「定義と一般的性質」を含む「平衡点」の記事については、「平衡点」の概要を参照ください。
- 定義と一般的性質のページへのリンク
