定義と例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/11 01:14 UTC 版)
100 以下の素数一覧 02 3 00 05 00 7 00 00 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 素数とは、自明な正の因数（1 と自分自身）以外に因数を持たない自然数であり、1 でない数のことである。つまり、正の因数の個数が 2 である自然数である。 例えば、2 は、正の因数が 1, 2 のみなので素数である。 素数でない 2 以上の自然数を合成数と呼ぶ。 下記の3条件どれかを満たす数は全て合成数である。 4以上の偶数。 15以上で末尾が5の数。 数字和が3の倍数となる数 (21, 27, 33, 39, 51, 57, 63, 69, 81, 87, 93, 99, …)。 逆に、この3条件を、全て満たさない数でも素数とは限らない。例えば、91 は、正の因数が 1, 7, 13, 91 なので素数ではない。 また、2, 3 でない素数は、最も近い6の倍数との差が 1 か −1 である。 2 でない素数は奇数であり、奇素数と呼ぶ。 100以下の素数は25個存在し、小さい順に次の通りである。 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 さらに、1000以下の素数は100以下のものを含め168個存在する（100以下を除けば143個）。101以上で1000以下の素数は小さい順に次の通りである。 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 詳細は「素数の一覧」を参照
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定義と例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2014/10/03 18:01 UTC 版)
定義 X 上の δ-集合環とは、X 上の集合環で可算交叉に関して閉じているものを言う。 任意の σ-集合環は δ-集合環である。このことは、関係式 からわかる。従って、σ-集合環の項で挙げられた全ての例（およびより強く任意の σ-集合代数）が、そのまま δ-集合環の例になる。 δ-集合環だが σ-集合環にならないものが存在する。その単純な例は、無限集合 X に対して、X の有限部分集合全体の成す族によって与えられる。 この例はもっと一般の例の集まりの中の特別の場合であるが、任意の測度空間 に対し、σ-加法族 の元で測度有限なるもの全体の成す族は δ-集合環になる。
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定義と例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/10/21 04:05 UTC 版)
「ドナルドソン・トーマス不変量」の記事における「定義と例」の解説
グロモフ・ウィッテン不変量の基本的なアイデアは、リーマン面から滑らかな対象への写像を研究することにより空間の幾何学を探ることである。そのような写像のすべてのモジュライスタックは、仮想的基本類を持ち、このスタック上の交叉理論は数え上げ情報をもつことがある数値的不変量となる。同様の精神で、ドナルドソン・トーマス理論へのアプローチは、それらの方程式により、さらに正確には、空間上のイデアル層を研究することで、代数的 3-多様体の中の曲線を研究することである。このモジュライ空間もまた、仮想基本類を持ち、数え上げのある数値的不変量となる。 グロモフ・ウィッテン理論では、写像は多重被覆や領域曲線の崩壊成分でも可能となるが、一方、ドナルドソン・トーマス理論は、層の中に含まれるべき零情報をもつことができる。しかし、これらは整数の値の不変量である。モーリク(Maulik)、アンドレイ・オクンコフ(Andrei Okounkov)、ニキータ・ネクラソフ(Nikita Nekrasov)、ラフル・パンダハリパンデ（英語版）(Rahul Pandharipande)による深い予想があり、より一般性を持って代数的 3-多様体のグロモフ・ウィッテン不変量とドナルドソン・トーマス理論が実際、同値であることを証明した。より具体的には、それらの母函数はある適当な変数変換で等しくなる。3-次元カラビ・ヤウ多様体に対するドナルドソン・トーマス不変量は、モジュライ空間上のウェイト付きオイラー特性類として定式化することができる。最近では、これらの不変量、モチーフ的ホール代数、量子トーラス上の函数環の間に関連があることが示されている[要説明]。 クインティックスリーフォールド上の直線のモジュライ空間は、2875個の点からなる離散的集合である。点の仮想数は点の実際の数であり、よってモジュライ空間のドナルドソン・トーマス不変量は整数 2875 である。 同様に、クインティックスリーフォールド上のコニック（英語版）(conics)のモジュライ空間のドナルドソン・トーマス不変量は 609250 である。
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定義と例
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「創造的集合と生産的集合」の記事における「定義と例」の解説
以下では φ i {\displaystyle \varphi _{i}} は計算可能関数のアクセプタブル・ナンバリング、 W i {\displaystyle W_{i}} は対応する帰納的可算集合のナンバリングとする。 自然数の集合 P {\displaystyle P} が生産的とは、帰納的（計算可能）関数 f {\displaystyle f} が存在して、任意の i {\displaystyle i} に対して W i ⊆ P {\displaystyle W_{i}\subseteq P} ならば f ( i ) ↓ {\displaystyle f(i)\downarrow } かつ f ( i ) ∈ P ∖ W i {\displaystyle f(i)\in P\setminus W_{i}} が成り立つことをいう。このとき関数 f {\displaystyle f} を P {\displaystyle P} の生産的関数という。 自然数の集合 C {\displaystyle C} が創造的とは、 C {\displaystyle C} が帰納的可算であり、補集合 N ∖ C {\displaystyle \mathbb {N} \setminus C} が生産的であることをいう。後で述べるように創造的集合は帰納的可算な補集合を持たない。すなわち創造的集合は帰納的でない。 典型的な創造的集合に K = { i ∣ i ∈ W i } {\displaystyle K=\{i\mid i\in W_{i}\}} がある。この集合は停止性問題の対角線を表している。この補集合 K ¯ = { i ∣ i ∉ W i } {\displaystyle {\bar {K}}=\{i\mid i\notin W_{i}\}} は生産的関数 f ( i ) = i {\displaystyle f(i)=i} を持つ生産的集合である： W i ⊆ K ¯ {\displaystyle W_{i}\subseteq {\bar {K}}} と仮定する。このとき i ∈ W i {\displaystyle i\in W_{i}} ならば i ∈ K {\displaystyle i\in K} かつ i ∈ K ¯ {\displaystyle i\in {\bar {K}}} となって不合理。すなわち i ∉ W i {\displaystyle i\notin W_{i}} 。それゆえ i ∈ K ¯ {\displaystyle i\in {\bar {K}}} 。
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定義と例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/30 14:17 UTC 版)
「ナンバリング (計算可能性理論)」の記事における「定義と例」の解説
集合 S {\displaystyle S} のナンバリングとは N {\displaystyle \mathbb {N} } から S {\displaystyle S} の上への部分関数をいう（Ershov 1999:477）。ナンバリング ν の i に於ける値は（定義されるなら）しばしば ν ( i ) {\displaystyle \nu (i)} の代わりに ν'i と書かれる。 例えば、 N {\displaystyle \mathbb {N} } の全ての有限部分集合からなる集合は γ ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \gamma (\emptyset )=0} γ ( { a 0 , … , a k } ) = ∑ i ≤ k 2 a i {\displaystyle \gamma (\{a_{0},\ldots ,a_{k}\})=\sum _{i\leq k}2^{a_{i}}} なるナンバリングを持つ（Ershov 1999:477）。 2つ目の例として、部分計算可能関数のナンバリング φ i {\displaystyle \varphi _{i}} は、 W(i) を φi の定義域と定めることで帰納的可算集合のナンバリング W として利用できる。
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定義と例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 10:12 UTC 版)
F {\displaystyle F} を一階述語論理の言語で書かれた論理式とする。ここで F {\displaystyle F} は異なる量化記号の出現において束縛されるような変数は持たず、いかなる変数も束縛変数と自由変数の両方として出現することはないと仮定してよい。（つまり、 は、結果として同値な論理式が得られるように文字を付け替えることで、これらの条件を保証することができる。） このとき F {\displaystyle F} のスコーレム化は次のようにして得られる： 第一に、 F {\displaystyle F} の全ての変数を定数記号に置き換える。 第二に、次のいずれかの変数上の量化子を全て削除する： (1) 全称量化されておりかつ、偶数個の否定記号の内側にある (2) 存在量化されており、かつ奇数個の否定記号の内側にある。 最後に、それらの変数 v {\displaystyle v} を関数記号 f v ( x 1 , … , x k ) {\displaystyle f_{v}(x_{1},\ldots ,x_{k})} に置き換える。ここで x 1 , … , x k {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}} は依然として量化されたままの変数であって、それら量化記号は v {\displaystyle v} を支配している。 例として、論理式 F := ∀ y ∃ x [ R ( y , x ) ∧ ¬ ∃ z S ( x , z ) ] {\displaystyle F:=\forall y\exists x[R(y,x)\wedge \neg \exists zS(x,z)]} を考えよう。（最初のステップで）置換される自由変数は存在しない。変数 y , z {\displaystyle y,z} は第二ステップで考慮される種類の変数であるから、量化子 ∀ y {\displaystyle \forall y} と ∃ z {\displaystyle \exists z} を削除する。最後に、 y {\displaystyle y} を定数記号 c y {\displaystyle c_{y}} に置き換え（ y {\displaystyle y} を支配する量化子は存在しなかったのだから）、 z {\displaystyle z} を関数記号 f z ( x ) {\displaystyle f_{z}(x)} に置き換える： F H = ∃ x [ R ( c y , x ) ∧ ¬ S ( x , f z ( x ) ) ] . {\displaystyle F^{H}=\exists x[R(c_{y},x)\wedge \neg S(x,f_{z}(x))].} 論理式のスコーレム化も、上記の第二ステップを例外とすれば、同様に得られる。第二ステップでは、次のいずれかの変数上の量化子を全て削除する： (1) 存在量化されておりかつ、偶数個の否定記号の内側にある (2) 全称量化されており、かつ奇数個の否定記号の内側にある。よって、上と同じ F {\displaystyle F} を考えれば、そのスコーレム化は F S = ∀ y [ R ( y , f x ( y ) ) ∧ ¬ ∃ z S ( f x ( y ) , z ) ] . {\displaystyle F^{S}=\forall y[R(y,f_{x}(y))\wedge \neg \exists zS(f_{x}(y),z)].} これらの構成の意義を理解するためには、エルブランの定理またはレーヴェンハイム–スコーレムの定理を参照。
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定義と例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/07 19:04 UTC 版)
「ELEMENTARY」の記事における「定義と例」の解説
初等帰納的関数の定義は原始帰納を限定和と限定積に置き換わっている点を除けば原始帰納的関数と同様に定義される。（通常、減算は原始帰納的関数の基本関数に含めないが、原始帰納的である。）全ての関数は自然数に対して作用するものとする。基本関数は次のものからなる： ゼロ関数： Z ( x → ) = 0 {\displaystyle Z({\overrightarrow {x}})=0} 後者関数： S ( x ) = x + 1 {\displaystyle S(x)=x+1} 射影関数: P μ ν ( x → ) = x μ {\displaystyle P_{\mu }^{\nu }({\overrightarrow {x}})=x_{\mu }} 減算関数: x − ˙ y = { x − y if x ≥ y 0 otherwise {\displaystyle x{\dot {-}}y={\begin{cases}x-y&{\mbox{if }}x\geq y\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} これらの基本関数に次の基本構成を繰り返して得られる関数が初等帰納的関数である： 合成: h ( x → ) = f ( g 1 ( x → ) , g 2 ( x → ) , … , g μ ( x → ) ) {\displaystyle h({\overrightarrow {x}})=f(g_{1}({\overrightarrow {x}}),g_{2}({\overrightarrow {x}}),\ldots ,g_{\mu }({\overrightarrow {x}}))} 限定和: f ( x → , y ) = ∑ z < y g ( x → , z ) {\displaystyle f({\overrightarrow {x}},y)=\sum \limits _{z<y}g({\overrightarrow {x}},z)} 限定積: f ( x → , y ) = ∏ z < y g ( x → , z ) {\displaystyle f({\overrightarrow {x}},y)=\prod \limits _{z<y}g({\overrightarrow {x}},z)} 初等的関数の例としては次のものがある： 乗算関数： x ⋅ y = ∑ z < y x {\displaystyle x\cdot y=\sum \limits _{z<y}x} 加算関数： x + y = S ( x ) ⋅ S ( y ) − ˙ S ( x ⋅ y ) {\displaystyle x+y=S(x)\cdot S(y){\dot {-}}S(x\cdot y)} 冪乗関数： x y = ∏ z < y x {\displaystyle x^{y}=\prod \limits _{z<y}x} 素数列： p n = 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , … {\displaystyle p_{n}=2,3,5,7,11,\ldots }
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定義と例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/03 16:14 UTC 版)
ここでは古典命題論理における恒真式の定義を述べる。 V a l {\displaystyle \mathrm {Val} } を命題変数の全体とする。 f : V a l → { ⊤ , ⊥ } {\displaystyle f:\mathrm {Val} \to \{\top ,\bot \}} なる写像、すなわち命題変数への真理値割り当てを考える。 ⊤ {\displaystyle \top } は恒真、 ⊥ {\displaystyle \bot } は矛盾。次のようにして f {\displaystyle f} の始域を論理式の全体 F m l {\displaystyle \mathrm {Fml} } に拡張する（右辺の ∧ ∨ ¬ → {\displaystyle \wedge \vee \neg \to } は論理記号ではなく { ⊤ , ⊥ } {\displaystyle \{\top ,\bot \}} 上の 演算である）： f ( α ∧ β ) := f ( α ) ∧ f ( β ) {\displaystyle f(\alpha \wedge \beta ):=f(\alpha )\wedge f(\beta )} f ( α ∨ β ) := f ( α ) ∨ f ( β ) {\displaystyle f(\alpha \vee \beta ):=f(\alpha )\vee f(\beta )} f ( ¬ α ) := ¬ f ( α ) {\displaystyle f(\neg \alpha ):=\neg f(\alpha )} f ( α → β ) := f ( α ) → f ( β ) {\displaystyle f(\alpha \to \beta ):=f(\alpha )\to f(\beta )} このようにして得られる写像 f : F m l → { ⊤ , ⊥ } {\displaystyle f:\mathrm {Fml} \to \{\top ,\bot \}} を付値という。任意の付値 f {\displaystyle f} に対して f ( α ) = ⊤ {\displaystyle f(\alpha )=\top } となるとき、 α {\displaystyle \alpha } を恒真式という。 古典論理の上で、次の論理式は恒真式である。 ¬ ( α ∧ ¬ α ) {\displaystyle \neg (\alpha \wedge \neg \alpha )} α ∨ ¬ α {\displaystyle \alpha \vee \neg \alpha } ( α → β ) ⇔ ( ¬ β → ¬ α ) {\displaystyle (\alpha \to \beta )\Leftrightarrow (\neg \beta \to \neg \alpha )} ¬ ¬ α ⇔ α {\displaystyle \neg \neg \alpha \Leftrightarrow \alpha } ¬ ( α ∧ β ) ⇔ ( ¬ α ∨ ¬ β ) {\displaystyle \neg (\alpha \wedge \beta )\Leftrightarrow (\neg \alpha \vee \neg \beta )} ( ( α → β ) ∧ ( β → γ ) ) → ( α → γ ) {\displaystyle ((\alpha \to \beta )\wedge (\beta \to \gamma ))\to (\alpha \to \gamma )} 主な恒真式として、同一律、排中律、矛盾律、二重否定の法則、巾等律、交換律、結合律、分配律、吸収律、ド・モルガンの法則、対偶律、選言的三段論法、前件肯定式、推移律、移入律、移出律（英語版）、縮小律、拡大律、構成的両刀論法（英語版）などがある。
※この「定義と例」の解説は、「恒真式」の解説の一部です。
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定義と例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/05 06:12 UTC 版)
一辺に n 個の正三角形となるように点を等間隔に並べたときの点の総数は1 から n までの自然数の和に等しくなり、 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 ( n ≧ 1 ) . {\displaystyle 1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}\quad (n\geqq 1).} と表される。 これを n番目の三角数といい、Tn で表す。三角数は無数にあり、最小のものは 1 である。 例えば 10 は一辺に点を4個並べたときに該当するので三角数の一つである。 136101521 特に三角数 10 (= 1 + 2 + 3 + 4) はピタゴラス（学派）にとって「完全なる数」として大事な数とされた。 T n = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 ( n ≧ 1 ) . {\displaystyle T_{n}=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}\quad (n\geqq 1).} において、T0 = 0 と定義すると n = 0 のときも成り立つ。この式は下図のように、n番目の三角数を灰色の点の三角形と赤色の点の三角形でそれぞれ表し、2つの三角形を組み合わせると、高さ n, 底辺 n + 1 の長方形になり、その長方形の面積の半分として得ることができる。 2612203042 三角数の列は次のようになる。 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, …（オンライン整数列大辞典の数列 A217）
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