一般の例とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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一般の例

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/11/15 16:56 UTC 版)

「半環」の記事における「一般の例」の解説

任意の環は、それ自身が半環である。一つの環のイデアルの全体は、イデアルの和と積に関して半環を成す。単位的完備冪等半環（英語版）は、結びと乗法に関して冪等半環 (dioid) である。任意の有界分配束は結びと交わりに関して可換冪等半環を成す。特にブール代数はそのような半環である。ブール環も半環を成し、実際には環を成すが、これは加法が冪等でない。環 R における正規歪束（英語版）は乗法とで定義される束演算（ナブラ）に関して冪等半環となる。クリーネ代数（英語版）はクリーネスターと呼ばれる単項演算 ∗: R → R を備えた冪等半環 R である。クリーネ代数は形式文法や正規表現の理論において重要である。

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一般の例

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/15 18:57 UTC 版)

「写像」の記事における「一般の例」の解説

x ∈ R に絶対値 |x| を対応させる |・|: R → [0, ∞) は写像である。これは全射であるが単射ではない。 GL(n, R) を n 次実一般線型群、即ち正則な実 n 次正方行列の全体とする。行列 A ∈ GL(n, R) にその行列式 det A ∈ R × := R ∖ { 0 } {\displaystyle \det A\in \mathbb {R} ^{\times }:=\mathbb {R} \setminus \{0\}} を対応させる対応 det: GL(n, R) → R× は写像になる。これも全射であるが n ≥ 2 のとき単射ではない。 R2[x] を {ax2 + bx + c | a, b, c ∈ R, a ≠ 0} （実係数 2次多項式全体）で定める。多項式 ax2 + bx + c ∈ R2[x] にその判別式 D = b2 − 4ac ∈ R を対応させる対応 D: R2[x] → R は写像である。これも全射であるが単射ではない。 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } に ⌊ x ⌋ := max { n ∈ Z ∣ x ≥ n } {\displaystyle \lfloor x\rfloor :=\max\{n\in \mathbb {Z} \mid x\geq n\}} （ x {\displaystyle x} 以下の最大の整数）を対応させる対応 ⌊ ⋅ ⌋ : R → Z {\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z} } は床関数といわれる。同様に、 ⌈ x ⌉ := min { n ∈ Z ∣ x ≤ n } {\displaystyle \lceil x\rceil :=\min\{n\in \mathbb {Z} \mid x\leq n\}} （ x {\displaystyle x} 以上の最小の整数）を対応させる対応 ⌈ ⋅ ⌉ : R → Z {\displaystyle \lceil \cdot \rceil \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z} } は天井関数といわれる。どちらも、全射であるが単射ではない。 z = a + b i ∈ C {\displaystyle z=a+bi\in \mathbb {C} } に実部, 虚部を対応させる写像 R e : C ∋ z ↦ a ∈ R {\displaystyle \mathrm {Re} \colon \mathbb {C} \ni z\mapsto a\in \mathbb {R} } , I m : C ∋ z ↦ b ∈ R {\displaystyle \mathrm {Im} \colon \mathbb {C} \ni z\mapsto b\in \mathbb {R} } はともに全射であるが単射でない. n 個の空でない集合 X1,...,Xn の直積集合 X 1 × ⋯ × X n {\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}} から Xi への写像 pi を次のように定める: p i : X 1 × ⋯ × X n ∋ ( x 1 , … , x n ) ↦ x i ∈ X i . {\displaystyle p_{i}\colon X_{1}\times \cdots \times X_{n}\ni (x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto x_{i}\in X_{i}.} これは X 1 × ⋯ × X n {\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}} から Xi への第 i {\displaystyle i} 射影（ i {\displaystyle i} -th projection）といわれる. これは全射であるが単射でない.