一般の位相空間の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/03 08:53 UTC 版)
一般の位相空間において、開集合としてはほとんど何でもありで、下敷きにする集合が同じであっても開集合族として選ぶものが異なれば、位相空間としては異なるものとなる。 集合 X とその上の部分集合族 τ に対し、τ が X 上の位相または開集合系であるとは、 全体集合 X と空集合は τ に属する: X ∈ τ , ∅ ∈ τ {\textstyle X\in \tau ,\,\emptyset \in \tau } . τ に属する集合の任意の合併は τ に属する: { O i } i ∈ I ⊆ τ ⟹ ⋃ i ∈ I O i ∈ τ {\textstyle \{O_{i}\}_{i\in I}\subseteq \tau \implies \bigcup _{i\in I}O_{i}\in \tau } . τ に属する集合の有限個の交わりは τ に属する: { O i } i = 1 n ⊆ τ ⟹ ⋂ i = 1 n O i ∈ τ {\textstyle \{O_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq \tau \implies \bigcap _{i=1}^{n}O_{i}\in \tau } . τ に属する集合を開集合と総称する。 開集合の無限個の交わりは開集合とは限らないことに注意すべきである。例えば、正の整数 n に対する (−1/n, 1/n) の形の開区間すべての交わりは、一点集合 {0} であり、これは実数直線内の開集合ではない。開集合の可算交叉として構成することのできる集合をGδ-集合と総称する。 このような開集合の位相的定義は距離空間における開集合の定義を一般化するものである。距離空間において上のように開集合を定義すれば、その開集合全体の成す族はその距離空間上に位相を定める。したがって、任意の距離空間は自然な仕方で位相空間となる。しかし、任意の位相空間は距離空間になるとは限らない。
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