一般の代数多様体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/23 00:10 UTC 版)
一般の代数多様体は、普通の多様体と同様、アフィン代数多様体の貼り合わせとして定義される。貼り合わせを定義するために、アフィン代数多様体の開集合について少し述べる。 アフィン空間 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} の中で定義されるアフィン代数多様体 V = V(P) （P は多項式環の素イデアル）の閉部分集合は、P を含むイデアル I を用いて V(I) で与えられる。従って、V の開集合は、DV(I) = V \ V(I) と書ける。特に、I = P + (f) と書けるイデアル、すなわち、I が P と f で生成されたイデアルのとき、DV(I) を DV(f) と書く事にする。f が P に含まれない元を動くとき、上述 (Z3) によって D V ( I ) = ⋃ f ∈ I D V ( f ) {\displaystyle D_{V}(I)=\bigcup _{f\in I}D_{V}(f)} となるので、DV(f) は V の位相の基底になる。更に、Vf をひとつ次元の大きいアフィン空間 A k n + 1 {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n+1}} の中で、イデアル I + (xn+1 . f − 1) で定義されるアフィン代数多様体とすると、自然な射影 (x1, ..., xn, xn+1 ) → (x1, ..., xn) は同相写像 Vf → DV(f) を与える。そこで、 DV(f) を Vf と同一視して、アフィン代数多様体と見なす事にする。A(Vf) は A(V)[f−1] であるので、A(Vf) ⊃ A(V) である。 位相空間 X が既約であるとは、真の閉部分集合 X1 , X2 を用いて X = X 1 ∪ X 2 {\displaystyle X=X_{1}\cup X_{2}} とかけないことを言う。既約な位相空間 X は連結である。また、既約な位相空間 X の空でない開集合 U は稠密である。 既約な位相空間 X が代数多様体である（代数多様体の構造を持つ）とは、 X の 有限開被覆 X = ⋃ i ∈ I U i {\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}} がある。 アフィン代数多様体 Vi および、同相写像 αi : Ui → Vi がある。 任意の i, j の組と、 V i j = α i ( U i ∩ U j ) ⊂ V i {\displaystyle V_{ij}=\alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\subset V_{i}} に含まれる任意のアフィン開部分多様体 D V i ( f ) {\displaystyle D_{V_{i}}(f)} に対して、 α j ∘ α i − 1 : D V i ( f ) → V j {\displaystyle \alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}:D_{V_{i}}(f)\to V_{j}} はアフィン代数多様体の射（の下にある連続写像）である。 ことと定義する。アフィン代数多様体 W から 代数多様体 X への連続写像 f: W → X は W i = f − 1 ( U i ) {\displaystyle W_{i}=f^{-1}(U_{i})} に含まれる任意のアフィン開部分多様体 DW ( g ) に対して、合成写像 α i ∘ f | D W ( g ) : D W ( g ) → V i {\displaystyle \alpha _{i}\circ f_{|D_{W}(g)}:D_{W}(g)\to V_{i}} がアフィン代数多様体の射になるとき、代数多様体の射であるという。一般の代数多様体の間の連続写像 f: X → Y は、 f ∘ α − 1 : V i → Y {\displaystyle f\circ \alpha ^{-1}:V_{i}\to Y} が（アフィン代数多様体を定義域としてもつ）代数多様体の射になるとき、代数多様体の射であるという。代数多様体の間の同型の概念もアフィン代数多様体の場合と同じく、明らかな方法で定義される。 代数多様体の開部分集合は代数多様体になる。これを開部分多様体という。代数多様体の既約な閉部分集合は代数多様体になる。これを閉部分多様体という。
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