混合ホッジ構造の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/10 16:13 UTC 版)
アーベル群 HZ の上の混合ホッジ構造とは、ホッジフィルトレーション（Hodge filtration）と呼ばれる複素ベクトル空間 H （HZ の複素化）上の有限な減少フィルトレーション Fp と、ウェイトフィルトレーション（Weight filtration）と呼ばれる有理ベクトル空間 HQ = HZ ⊗ZQ 上の有限な増加フィルトレーション Wi の組であって、Wに対する HQ の次数付き商 WnH/Wn-1H とその複素化に F から誘導されるフィルトレーションの組が全ての n についてウェイト n の純粋ホッジ構造となるもののことである。ここで次数付き商の複素化 gr n W H = W n ⊗ C / W n − 1 ⊗ C {\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{W}H=W_{n}\otimes \mathbf {C} /W_{n-1}\otimes \mathbf {C} } に F から誘導されるフィルトレーションは次で与えられる。 F p gr n W H = ( F p ∩ W n ⊗ C + W n − 1 ⊗ C ) / W n − 1 ⊗ C {\displaystyle F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbf {C} +W_{n-1}\otimes \mathbf {C} )/W_{n-1}\otimes \mathbf {C} } ふり返って考えると、コンパクトケーラー多様体のコホモロジー全体は、混合ホッジ構造を持っていることが分かる。ここではウェイトフィルトレーションの n 番目の空間 Wn は次数n以下の（有理係数の）コホモロジー群の直和である。非特異で完備な複素代数多様体の場合の古典的ホッジ理論は、（複素）コホモロジー群全体を直和分解して二重次数付きベクトル空間とするものであり、その次数付けが増加フィルトレーション Fp と減少フィルトレーション Wn を与える。一般の代数多様体についても、コホモロジー空間全体はこれら2つのフィルトレーションを持っているが、もはや直和分解から出来上がったコホモロジーではない。純粋ホッジ構造の第三の定義との関係では、混合ホッジ構造は、群 C* の作用を使って記述することは不可能ということができる。ドリーニュの重要な発見は、混合ホッジ構造の場合には、さらに複雑な非可換な準代数的な群が存在して、淡中の定式化を使うことと同じ効果を発揮しうるということである。
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