代数多様体の場合

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代数多様体の場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/18 12:17 UTC 版)

「小平消滅定理」の記事における「代数多様体の場合」の解説

小平の消滅定理は、ケーラー計量のような 超越的な 方法を使うことなしでの代数幾何学の中で定式化することが可能である。直線束 L の正性は、対応する可逆層が豊富であることに置き換えられる。（つまり、射影埋め込みを与えるテンソル積が存在する）代数的な小平・秋月・中野の消滅定理は次のような定理である。 k を標数 0 の体とし、 X を次元 d の滑らか（英語版）な射影的（英語版）k-スキームとし、 L を X 上の豊富な可逆層とする。このとき、次が成立する。 p + q > d に対し H q ( X , L ⊗ Ω X / k p ) = 0 p + q < d {\displaystyle p+q 0 の体上では上式が必ずしも成立しないことを示した。特に、レノー曲面（英語版）に対して成立しないことを示した。 1987年まで、標数 0 の体に対して知られている唯一の証明方法は複素解析とGAGAの比較定理に基づいていた。しかし1987年にピエール・ルネ・ドリーニュ(Pierre Deligne)とリュック・イリュージー（英語版）は消滅定理の純代数的な証明を与えた (Deligne & Illusie 1987)。彼らの証明は、代数的ド・ラムコホモロジー（英語版）(algebraic de Rham cohomology)のホッジ・ド・ラムのスペクトル系列（英語版）が次数 1 で退化することを基礎としている。証明方法は、p > 0 の結果をある特別な結果をリフトすることで示される。特別な結果とは、正定値の性質を持つという結果で、この結果は制限なしには成立しないのであるが、全ての場合おいてリフトすることが可能である。