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代数的な証明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 05:43 UTC 版)

この証明は、直線が座標軸に対して平行でも垂直でもない場合にのみ、つまり直線の方程式でaもbも0でない場合にのみ成り立つ証明である。方程式 ax + by + c = 0 で表される直線の傾きは −a/b であるから、この直線に対して垂直な任意の線分の傾きはb/a (与えられた直線の傾きの逆数の負)である。ここで点(m, n)を、与えられた直線と、点(x0, y0)を通り与えられた直線に直交する直線の交点とする。点(m, n)と点(x0, y0)を通る直線は元の直線に直交するから y 0 − n x 0 − m = b a . {\displaystyle {\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.} したがって a ( y 0 − n ) − b ( x 0 − m ) = 0 {\displaystyle a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0} が得られ、さらに両辺を2乗することで以下を得る： a 2 ( y 0 − n ) 2 + b 2 ( x 0 − m ) 2 = 2 a b ( y 0 − n ) ( x 0 − m ) . {\displaystyle a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m).} ここで、次の等式を考える。但し第2式から第3式への変形には、上の 2乗した等式を用いた。 ( a ( x 0 − m ) + b ( y 0 − n ) ) 2 = a 2 ( x 0 − m ) 2 + 2 a b ( y 0 − n ) ( x 0 − m ) + b 2 ( y 0 − n ) 2 = ( a 2 + b 2 ) ( ( x 0 − m ) 2 + ( y 0 − n ) 2 ) . {\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}=(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}).} 一方で、点(m, n)がax + by + c =0 上にあることから、次の式も成り立つ： ( a ( x 0 − m ) + b ( y 0 − n ) ) 2 = ( a x 0 + b y 0 − a m − b n ) 2 = ( a x 0 + b y 0 + c ) 2 . {\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}.} したがって ( a 2 + b 2 ) ( ( x 0 − m ) 2 + ( y 0 − n ) 2 ) = ( a x 0 + b y 0 + c ) 2 , {\displaystyle (a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2},} となり、点(m, n)と点(x0, y0)を結ぶ線分の距離を求めることができた： d = ( x 0 − m ) 2 + ( y 0 − n ) 2 = | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 {\displaystyle d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} .

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