代数的サイクルを使った言い換え
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/04 07:39 UTC 版)
「ホッジ予想」の記事における「代数的サイクルを使った言い換え」の解説
ホッジ予想を述べるには別の方法、代数的サイクルのアイデアを使う方法もある。X 上の代数的サイクルとは X の部分多様体の形式的な結合のこと、つまり、次式の形のものをいう。 ∑ i c i Z i . {\displaystyle \sum \nolimits _{i}c_{i}Z_{i}.} 普通は、係数を整数もしくは有理数を取る。代数的サイクルのコホモロジー類を各構成成分の和として定義する。これはド・ラームコホモロジーのサイクル類の写像の例である。ヴェイユコホモロジーを参照。例えば、上記のサイクルのコホモロジー類は次のようになる。 ∑ i c i [ Z i ] . {\displaystyle \sum \nolimits _{i}c_{i}[Z_{i}].} このようなコホモロジー類を代数的と呼ぶこととする。この用語を使うと、ホッジ予想は次のようになる。 X を複素射影多様体とすると、すべての X 上のホッジ類は代数的である。 この、X が代数的（複素射影多様体）であるというホッジ予想の条件は弱めることができない。1977年に、ズーカー(S. Zucker)は、ホッジ予想の反例を、射影代数的でない解析的なタイプ (p, p) の有理数係数のコホモロジーを持つ複素トーラスとして構成することができることを示した。（Zucker (1977)のappendix Bを参照のこと）
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