代数的な作図
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/05/03 19:03 UTC 版)
図4によれば、根軸（赤い線）は2つの円の中心 B と V を通る直線（青い線）に垂直である。2つの線の交点 K は B と V の間にある。x1 と x2 は K から B と V への距離なので x1+x2=D と置くと D は B と V の距離となる。 根軸上に J を取り B と V への距離を d1, d2 とすると、方べきの定理より以下が成り立つ。 d 1 2 − r 1 2 = d 2 2 − r 2 2 {\displaystyle d_{1}^{2}-r_{1}^{2}=d_{2}^{2}-r_{2}^{2}} ここで r1 と r2 は2つの円の半径である。ピタゴラスの定理を利用して d1 と d2 を x1, x2 および J と K の距離 L 置き換えると以下のようになる。 L 2 + x 1 2 − r 1 2 = L 2 + x 2 2 − r 2 2 {\displaystyle L^{2}+x_{1}^{2}-r_{1}^{2}=L^{2}+x_{2}^{2}-r_{2}^{2}} 両辺にある L2 を消して整理する。 x 1 2 − x 2 2 = r 1 2 − r 2 2 {\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}} 両辺を D = x1+x2 で割る。 x 1 − x 2 = r 1 2 − r 2 2 D {\displaystyle x_{1}-x_{2}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{D}}} 両辺に x1+x2 = D を足すと x1 を求める式ができる。 2 x 1 = D + r 1 2 − r 2 2 D {\displaystyle 2x_{1}=D+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{D}}} 同様に x2 の式も作ることができる。 2 x 2 = D − r 1 2 − r 2 2 D {\displaystyle 2x_{2}=D-{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{D}}}
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